由“小学算术”——实数公理，所引出的....

2万 · 2018-6-15 08:43

先看看实数系公理

https://bbs.21ic.com/icview-2519702-1-1.html

以及相关前导

https://bbs.21ic.com/icview-2520836-1-1.html

2万 · 2018-6-15 08:47

各位都上过小学（别跟我说没上过，那可是法定义务教育），该知道“=”、“+”和“*”。当然，也知道“0”、“1”、“2”...,且还知道其大小关系“≤”和“<”。

各位也知道正极大——大到比任何给出的数都大，以及负极大。这在小学生眼里，虽然还没有形式语言的表述能力，但已经知道“极大”是比任何东西都大。

下面来看看这两个数项级数（别被术语搞晕了，其就是一串数字相加而已）：

1 + 2 + 3 + 4 + ...

1 + 2 + 4 + 8 + ...

只要学过点加法的都知道，上面那两个东西比任何给出的数字都要大，即正无穷大——+∞，表为：

1 + 2 + 3 + 4 + ... = +∞

1 + 2 + 4 + 8 + ... = +∞

注：上式的依据是扩充实数集中元素“+∞”的属性特征，即

对于任意实数a，成立下式

a ≤ +∞

这也是“+∞”的定义。

显然，其不可能等于任何有限的数字，亦即不等于非无穷大。这里有个“非”字，逻辑上已经说明了问题，从无穷大的关系定义中也已经确定了其与有限实数的差异。若一定要给个证明，那么看看下面：

设a为一个有限实数，显然存在一个比a大的有限实数b=a+1，成立下面关系

a < b

假设

1 + 2 + 3 + 4 + ... = +∞ = a

那么根据+∞的关系定义有

b ≤ a

矛盾。

所以

1 + 2 + 3 + 4 + ... = +∞ ≠ a

2万 · 2018-6-15 08:48

一个数项级数发散(就算是已有确定意义的正负无穷大)，某些“数学家”看着总有点“不舒服”，于是乎有好事者就搞了些有别于你们小学老师教给你们的“加法”，譬如Hölder、Cesàro、Abel和Ramanujan等几位。这里不想介绍那些“加法”，因为这并不是通常我们所用的“+”之意思。这里要关心的是其目的是什么？从相关文献资料就可以看到，其目的主要就是想通过某种“加法”使得原本发散的数项级数“收敛到”其“解析延拓”之值。注意，这是想建立从“数项级数”到其“解析延拓”间的关系。

我们知道，“解析延拓”是复变函数的某种延拓关系，“数项级数”不是“函数项级数”，构不成一个“复变函数”，充其量是个常数。

2万 · 2018-6-15 08:50

下面再回到“小学”，看看一个极为简单的“数项级数”（具体见“前导”帖）：

1 = 1

1 + 1 = 2

n个1相加

1 + 1 + ... + 1 = n

问，当n趋于正无穷大时，上述级数等于多少？

这个问题其实是白问。有限项之和等于n且n趋于正无穷大，那么级数就是趋于正无穷大——+∞。简单的逻辑。

由实数系公理可知，正无穷大绝对不可能等于某个有限实数。

2万 · 2018-6-15 08:52

前面说过，那些“加法”的目的是为了得到相应“数项级数”的“解析延拓”。那么，针对1+1+...这个级数来找找相关的“解析延拓”。

首先得找相对应的函数项级数，自然想到的是等比级数：

1 + z + z^2 + ... = 1/(1-z) (|z|<1)

当z=1时，确实是发散。

但是，看看下面这个函数项级数

1/1^z + 1/2^z + ... = ζ(z) (Re{z}>1)

这个函数项级数，当z=0时，其就是1+1+...。而各位知道，这是与黎曼ζ函数相关的那个级数，其解析延拓（黎曼ζ函数）在原点的值就是

ζ(0) = -1/2

那么，就算是按“解析延拓”来确定发散“数项级数”所对应的值（不是级数等于此值），也可能无定论。其实，关键问题是那些“加法”仅涉及到了数项级数，而未考虑其函数项级数的函数关系。

2万 · 2018-6-15 08:53

那些所谓的“加法”可以说现在是几乎没什么价值，无论是理论上还是应用上。理论上，《复变函数》中的解析延拓概念和理论已经足以支撑相关的分析；而实际应用，则早有更合理的处理方法（将在后面介绍）。

而关于小学老师所教给你们的加法——+（或者说基于实数系公理），这里要强调的是，诸如下式

1 - 1 + 1 - ... = 1/2

1 + 1 + 1 + ... = -1/2

1 + 2 + 3 + ... = -1/12

和

1 + 2 + 4 + ... = -1

等

都是极其荒谬的东西。

注：实数系公理是实分析（譬如《数学分析》）和复分析（譬如《复变函数》）的基础。

2万 · 2018-6-15 08:54

你从小学老师那里学到的知识，不仅中学和大学都还有效，即便是那些数学家也必须遵循这些基本的知识。数学的发展只是从具体事物中抽象出更一般的概念和理论，而这些概念和理论必须能回到（或落实到）原本的具体事物中去。

不要怀疑你们的小学老师，他们给予了你最基本的启蒙教育，而这些教育致使你形成基本的常识。