定义
目的是定义自然数集合，首先需要承认的是集合具有的一些运算性质，例如a=b时a,b代表的是同一个元素。
皮亚诺的这五条公理用非形式化的方法叙述如下：
Ⅰ 0是自然数；
Ⅱ 每一个确定的自然数a，都具有确定的后继数a' ，a'也是自然数（数a的后继数a'就是紧接在这个数后面的整数（a+1）。例如，1'=2，2'=3等等。）
可是仅有这两个公理还不够完整地描述自然数，因为满足这两条的有可能不是自然数系统。比如考虑由 0, 1 构成的数字系统，其中1的后继为0。这不符合我们对于自然数系统的期望，因为它只包含有限个数。因此，我们要对自然数结构再做一下限制：
Ⅲ 0不是任何自然数的后继数；
但这里面的漏洞防不胜防，此时仍不能排除如下的反例：数字系统 0, 1, 2, 3，其中3的后继是3。看来，我们设置的公理还不够严密。我们还得再加一条。
Ⅳ不同的自然数有不同的后继数，如果自然数b、c的后继数都是自然数a，那么b=c；
最后，为了排除一些自然数中不应存在的数（如 0.3），同时也为了满足一会儿制定运算规则的需要，我们加上最后一条公理。
Ⅴ设S⊆N，且满足2个条件（i）0∈S；（ii）如果n∈S，那么n'∈S。则S是包含全体自然数的集合，即S=N。(这条公理也叫归纳公理，保证了数学归纳法的正确性)
注：归纳公理可以用来证明0是唯一不是后继数的自然数，因为令命题为“n=0或n为其它数的后继数”，那么满足归纳公设的条件。
若将只考虑正整数，则公理中的0要换成1，自然数要换成正整数。
更正式的定义
一个戴德金-皮亚诺结构为一满足下列条件的三元组(X, x, f)：
Ⅰ X是一集合，x为X中一元素，f是X到自身的映射；
Ⅱ x不在f的像集内；
Ⅲ f为一单射。
Ⅳ 若A为X的子集并满足x属于A,且若a属于A, 则f(a)亦属于A，则A=X。
该结构与由皮亚诺公理引出的关于自然数集合的基本假设是一致的：
1° 自然数集P不是空集；
2° P到P内存在a→a直接后继元素的一一映射；
3° 后继元素映射像的集合是P的真子集；
4° 若P任意子集既含有非后继元素的元素，又有含有子集中每个元素的后继元素,则此子集与P重合。
能用来论证许多平时常见又不知其来源的定理！
例如:其中第四个假设即为应用极其广泛的归纳法第一原理（数学归纳法）的理论依据。
加法的定义
我们定义，加法是满足以下两种规则的运算：
Ⅰ ∀m∈N，0 +m =m；
Ⅱ ∀m，n∈N，n' +m = （n +m）'。
有了这两条仅依赖于“后继”关系的加法定义，任意两个自然数相加的结果都能确定出来了。
加法性质
1+1=2
1 + 1
= 0’ + 1 （根据自然数的公理）
= （0 + 1)’（根据加法定义Ⅱ）
= 1’ （根据加法定义Ⅰ）
= 2 （根据自然数的公理）
结合律
证明对任意的a,下述命题成立：
∀b,c，(a+b)+c=a+(b+c)。
当a=0时，
(0+b)+c=b+c(加法定义Ⅰ)
=0+(b+c)(加法定义Ⅰ)，命题成立。
假设命题对a成立，则对a'：
任给b,c,有(a'+b)+c=(a+b)'+c=((a+b)+c)'=(a+(b+c))'=a'+(b+c),命题也成立。
由公理Ⅴ，命题成立。由此即得结合律a+(b+c)=(a+b)+c。
m'=1+m
当m = 0 时，1+m=1+0=0'+0=(0+0)'=0'，命题成立。由公理Ⅴ，即知命题对m的其他自然数取值也成立。
m'=m+1
当m= 0 时，对于m'，m'=0'=1=0+1=m+1,命题成立。对(m+1)'，(m+1)'=m'+1=0'+1=(0+1)+1=(m+1）+1，命题也成立。由公理Ⅴ，即知命题对m的其他自然数取值也成立。
m+0=m
（1）当m=0 时，m+0=0+0=0，m=0，于是m+0=m成立，即m+0=m在m=0时成立；
（2）假设m+0=m在m=k时成立，即k+0=k，那么当m=k'时，m+0=k'+0=(k+0)'=k'，m=k'，于是m+0=m成立，即m+0=m在m=k'时成立。由此，如果m+0=m在m=k时成立，那么m+0=m在m=k'时成立；
由（1）（2）得，m+0=m恒成立。
由公理Ⅴ，即知m+0=m对于m的其他自然数取值也成立。
交换律
现证对任意的自然数n，下述命题为真：
∀自然数m,n+m=m+n。
当n=0时，对于n，n+m=0+m=m=m+0=m+n，对于n'，n'+m=(n+m)'=(m+n)'=m'+n=m+1+n=m+0'+n=m+(0+n)'=m+n'，交换律成立。
由公理Ⅴ，即知交换律对于n的其他自然数取值也成立。
乘法的定义
乘法是满足以下两种规则的运算：
Ⅰ∀自然数m，m · 0 = 0 ；
Ⅱ∀自然数m，n，m · n' = m ·n +m 。
有了这两条仅依赖于“后继”关系的乘法定义，任意两个自然数相乘的结果都能确定出来了。
乘法性质
乘法分配律
m·(n+k)=m·n+m·k。
证明：
当n=0时, m·(0+k)=m·k =0+m·k=m·0+m·k，
因此乘法分配律对n=0成立。
假设结论对n成立, 下证结论对n'成立。
m·(n'+k)=m·(n+k)' (加法定义)
=m·(n+k)+m (乘法定义)
=(m·n+m·k)+m (归纳假设)
=m·n+(m·k+m)=m·n+(m+m·k)=(m·n+m)+m·k(加法结合律、交换律)
=m·n'+m·k (乘法定义), 因此结论对n'也成立, 由数学归纳原理知, 乘法分配律成立。
乘法结合律
(m·n)·k=m·(n·k)。
当k=0时，(m·n)·0=0 (乘法定义)
m·(n·0)=m·0=0 (乘法定义)。
假设结论对k成立, 即(m·n)·k=m·(n·k)。 下证结论对k'成立。
(m·n)·k'=(m·n)·k+m·n (乘法定义)
m·(n·k')=m·(n·k+n) (乘法定义)
=m·(n·k)+m·n (乘法分配律)
=(m·n)·k+m·n (归纳假设), 因此结论对k'也成立, 由数学归纳原理知, 乘法结合律成立。
0·n=0
当 n=0时，由乘法定义0·0=0, 结论成立。
假设结论对n成立, 即0·n=0。 下证结论对n'成立。
0·n'=0·n+0 (乘法定义)
=0+0 (归纳假设)
=0 (加法定义)
因此, 0·n‘=0, 结论对n’也成立, 由数学归纳原理知，结论成立。
n'·m=n·m+m
当m=0时, 由于n'·0=0(乘法定义)
又n·0+0=0+0 (乘法定义)
=0 (加法定义), 因此n'·0=n·0+0, 结论成立。
假设结论对m成立, 即n'·m=n·m+m. 下证结论对m'成立。
n'·m'=n'·m+n' (乘法定义)
=(n·m+m)+n' (归纳假设)
=(n·m+m)+(n+1) (后继运算)
=(n·m+n)+(m+1) (加法运算的性质)
=n·m'+m' (乘法定义和后继运算)
因此结论对m'也成立, 由数学归纳原理结论成立。
乘法交换律
m·n=n·m。
当m=0时, 0·n=0=n·0, 结论成立。
假设结论对m成立, 即m·n=n·m. 下证结论对m'成立。
n·m'=n·m+n (乘法定义)
=m·n+n (归纳假设)
=m'·n(前文结论)
因此结论对m'也成立, 由数学归纳原理乘法交换律成立。
减法和除法
定义整数为自然数对（a,b）；定义：如果a+d=b+c，则(a,b)=(c,d)；定义整数加法为(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)；定义(a,b)的相反数为（b,a）。将(a,0)和a等同。则可以证明自然数是整数的一部分，加法的定义是相符的。这样，在整数上，我们有相反数的概念。整数和它相反数的和是0，0和任意整数的和是其自身。在整数上，定义a-b为a+(-b)。可以验证，这样的定义与通常理解的整数加减法是一致的。
进一步定义有理数为整数对[a,b]，其中b非零。定义[a,b]=[c,d]如果ad=bc。定义有理数乘法为[a,b][c,d]=[ac,bd],定义[a,b]的倒数为[b,a]，如果a,b非零。定义有理数加法为[a,b]+[c,d]=[ad+bc,bd]，定义[a,b]的相反数为[-a,b]，定义a-b为a+(-b)。将[a,1]和a等同，则可以证明整数是有理数的一部分，加法减法乘法的定义是相符的。这样，在非零有理数上，我们有倒数的概念。非零有理数和它倒数的积是1，1和任意有理数的积是其自身。在有理数上，定义a/b为a(1/b)，如果b非零。可以验证，这样的定义与通常理解的有理数加减乘除法是一致的。
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