数值分析

．数值分析

2．1微分

diff函数用以演算一函数的微分项，相关的函数语法有下列4个：  

diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值  

diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值  

diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值  

diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值  

    数值微分函数也是用diff，因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分，如果引数为向量则执行数值微分，如果引数为符号表示式则执行符号微分。  

    先定义下列三个方程式，接著再演算其微分项：  

>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5';  

>>S2 = 'sin(a)';  

>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)';  

>>diff(S1)  

ans=18*x^2-8*x+b  

>>diff(S1,2)  

ans= 36*x-8  

>>diff(S1,'b')  

ans= x  

>>diff(S2)  

ans=  

cos(a)  

>>diff(S3)  

ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3  

>>simplify(diff(S3))  

ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2

2．2积分

int函数用以演算一函数的积分项， 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积

分式的解析式(analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到，则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个：  

int(f) 传回f对预设独立变数的积分值  

int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值  

int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式  

int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式  

int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值，积分区间为[m,n]，m和n为符号式  

我们示范几个例子：  

>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5';  

>>S2 = 'sin(a)';  

>>S3 = 'sqrt(x)';

>>int(S1)  

ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x  

>>int(S2)  

ans= -cos(a)  

>>int(S3)  

ans= 2/3*x^(3/2)  

>>int(S3,'a','b')  

ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2)  

>>int(S3,0.5,0.6)   

ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2)  

>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值  

ans= 0.0741

2．3求解常微分方程式  

  MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition')，其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y)，且须以Dy代表一阶微分项y'　D2y代表二阶微分项y''　，   

condition则为初始条件。     

假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件     

y'=3x2, y(2)=0.5   

y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25      

y'=3y+exp(2x), y(0)=3   

对应上述常微分方程式的符号运算式为：      

>>soln_1 = dsolve('Dy =3*x^2','y(2)=0.5')      

ans= x^3-7.500000000000000     

>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相     

>>soln_2 = dsolve('Dy =2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4')      

ans= atan(x^2+1)   

>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y +exp(2*x)',' y(0) = 3')      

ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x)