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[电路/定理]

经常误解的采(抽)样定理!

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楼主: xukun977
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当一个电路或系统被采样之后。

其带宽不可能高于采样频率。

但是当把采样序列0阶保持的时候。

可以产生高频谐波。

但高频谐波并没有意义。

因为一旦采样,那么其带宽就只能比采样频率低。

那么低通滤波器的选择就有依据了。

用信号带宽作为低通滤波的转折频率显然是无可争议的。

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OTB| | 2017-2-9 22:05 | 只看该作者
那么这个输出恢复用的低通滤波器。

就可以等效地认为就是输入信号的滤波器。

也就是说输出恢复用的低通滤波器等效于输入信号。

即:

输入信号的传递函数与输出低通滤波的一样。

那么同样传递函数的信号,被采样之后,又用同一个传递函数的低通滤波器恢复,这显然是合情合理的。

采样定律的使用条件就是:

输入信号的频率特性基本就是近似一个低通滤波器。

如此之后,就可以用同样时间常数的低通滤波器恢复输入信号。

如果输入信号和低通滤波器完全一样。

那么信号完美恢复。

如果输入频率特性与低通滤波器的差别大,那么输出的误差也就更大。

如果把音频信号当作一个20K的一阶低通滤波器,那么采样之后的低通滤波器也是20K带宽的低通滤波器,如此就可以完美还原输入信号。

当然了,所以完美,也仅仅就是相对于信号的特性与低通滤波器相差大的情况。

即使所谓的完美还原,也仅仅就是趋势的完美还原,而不是绝对值的还原。

那么在理想情况下,完美还原,也不过就是“如影随形”的效果。

谁说身长必须和影子长度相同了?

答案是否定的。

只要影子能跟随身长变化即可。

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HWM| | 2017-2-9 22:07 | 只看该作者
nethopper 发表于 2017-2-9 20:30
吹毛求疵地看,能看到这段话容易引起误解的两个问题:

这两个“小问题”与那个(基带下)采用定理一点关系都没有。

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OTB| | 2017-2-9 22:14 | 只看该作者
Well,Well,Well。

如果输入频率特性与低通滤波器的差别大,那么输出的误差也就更大。

那么这就是采样定律在很多情况下都失效的原因。

虽然有时不至于失效那么严重,其实误差也使蛮大的。

谢谢大家! 

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OTB| | 2017-2-9 22:21 | 只看该作者
那么本大师的这个理论。

就可以解释为何MP3可能存在明显的歪曲声音的问题了。

如果采样定律被正确使用。

那么输出的误差应该很小。

否则就是比较严重的歪曲输入了。

这样的采样其实早已失去了采样意义。

那么对于自控来说。

闭环的反馈控制。

可以采样。

只要采样频率远大于控制对象的带宽即可。

然而控制器的设计恰好就是令这个系统更像一个低通滤波器。

而对于,输入,采样,滤波还原来说。

则需要输入的频率特性与低通滤波器约接近越好。

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OTB| | 2017-2-9 22:22 | 只看该作者
如果输入信号就是一个2阶震荡环节。

那么输出恢复用的低通滤波器也应该是一个同样参数的2阶震荡环节。

如果用一阶低通滤波器,那么可以肯定误差不小。

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67
OTB| | 2017-2-9 22:35 | 只看该作者
对于2阶震荡环节。

可以这样做。

把波峰频率当作“带宽”。

用2倍的带宽进行采样。

但输出还原用的低通滤波器将波峰频率的0.1倍作为转折频率。

那么这样就相当于把这个2节震荡环节,当成了0.1倍波峰频率带宽的一阶环节。

事实上,人们在实践中,肯定就是这样做的。

通常输入信号的频率特性,应该是闭环,并且经过补偿,而成为近似的一阶环节的。 

例如运放,就是一个闭环为很大程度上的一阶环节。

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68
OTB| | 2017-2-9 22:49 | 只看该作者
Well。 

采样的本质就是实行“如影随形”功能。

需要定义最大的信号输入频率。

采样频率大于这个最大的频率2倍。

那么就可以实现如影随形的脉冲序列了。 

通过低通滤波器来连续化这个“如影随形”的效果即可。

低通滤波器的转折频率为最大的输入频率信号。

那么就实现了“如影随形”的效果。

就是这样子了。

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69
OTB| | 2017-2-9 22:54 | 只看该作者
综上所述。

这充分证明了。

所谓的数学推导。

其实仅仅就是一个简单的小学数学原理。

就是如此简单。

根据2点一线的原理。

采样需要为2倍的最大频率。

因为一个点无法决定趋势或影子。

至少需要2个点才能决定一个变化趋势。

因此就证明了采样频率必须不低于最高信号频率的2倍。

被采样之后,脉冲序列具备高次谐波。

需要滤波处理。

选择小于最高频率的低通滤波器显然不合适。

只有选择最高频率信号作为转折频率才唯一合理。

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70
nethopper| | 2017-2-10 13:56 | 只看该作者
HWM 发表于 2017-2-9 22:07
这两个“小问题”与那个(基带下)采用定理一点关系都没有。

我都说了,为的就是“**蛋里挑骨头”, 而且5~10倍说法是常见的误区之一。

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xukun977|  楼主 | 2017-2-10 14:00 | 只看该作者
nethopper 发表于 2017-2-10 13:56
我都说了,为的就是“**蛋里挑骨头”, 而且5~10倍说法是常见的误区之一。 ...

那是教科书上说法!
常见的音频,最大3.4k,取8k,才2倍多一点!

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xmar 2017-2-10 14:18 回复TA
3.4k是指电话(英语)语音能够听懂的统计结果,也许普通话用1.4k也未可知。实际音频范围一般是20Hz ~ 20KHz。 
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HWM| | 2017-2-10 14:43 | 只看该作者
nethopper 发表于 2017-2-10 13:56
我都说了,为的就是“**蛋里挑骨头”, 而且5~10倍说法是常见的误区之一。 ...

我也说了,这5至10倍,与定理本身无关。

这些具体的技术手段,应该由具体的技术指标限定。没有指标限定,毫无意义。

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nethopper| | 2017-2-10 21:48 | 只看该作者
OTB 发表于 2017-2-9 22:21
那么本大师的这个理论。

就可以解释为何MP3可能存在明显的歪曲声音的问题了。

MP3不能无损恢复采样前的模拟信号主要是因为“...如果输入频率特性与低通滤波器的差别大,那么输出的误差也就更大。那么这就是采样定律在很多情况下都失效的原因...”?

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captzs| | 2017-2-10 22:14 | 只看该作者
   我也看过采样频率取大于2倍的说法,但是一直不明白,象附件的两个波形,采样后能复原?

采样.GIF (20.57 KB )

采样.GIF

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maychang| | 2017-2-10 23:19 | 只看该作者
captzs 发表于 2017-2-10 22:14
我也看过采样频率取大于2倍的说法,但是一直不明白,象附件的两个波形,采样后能否复原?
...

红色绿色两个波形,明显不是正弦,含高次谐波。

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captzs 2017-2-11 08:41 回复TA
是不是采样定理指的是>2倍正弦波,而非随机波。我用随机波最高频率的两倍,弄来弄去,还原波形都不好。 
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maychang| | 2017-2-11 08:55 | 只看该作者
“是不是采样定理指的是>2倍正弦波,而非随机波。我用随机波最高频率的两倍,弄来弄去,还原波形都不好。”
如果是非正弦周期性信号,那么可以分解成一系列频率成整数倍的正弦信号。采样应该大于最高次谐波的2倍,才能够还原波形。
@captzs

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captzs| | 2017-2-11 09:15 | 只看该作者
maychang 发表于 2017-2-11 08:55
“是不是采样定理指的是>2倍正弦波,而非随机波。我用随机波最高频率的两倍,弄来弄去,还原波形都不好。” ...

多谢赐教!
关于采样还原电路我前段时间仿真很长时间,就是不尽人意,都要取随机信号最高频率的数倍,效果才好,所以很纠结,就猜想是否与斜率有关,在14楼发过一帖,他们论述的我大多听不懂。您这样讲解就大致明白。

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OTB| | 2017-2-11 11:14 | 只看该作者
nethopper 发表于 2017-2-10 21:48
MP3不能无损恢复采样前的模拟信号主要是因为“...如果输入频率特性与低通滤波器的差别大,那么输出的误差 ...

这是一个极其复杂的问题。

到底什么样的滤波器。

可以保证,输入信号被采样之后,能够通过一个未知的滤波器,完全恢复。

这是一个复杂的微分方程。

例如像下面的微分方程:

d(f(x))*f(x)=2。

也就是说,一个函数微分之后与这个函数相乘,其结果为2。

显然这是一个人们当今还无法给出解析解的微分方程。

那么通过采样,得到一个脉冲序列,用什么函数形式的滤波器,可以保证脉冲序列可以完整还原输入。

那么采样的问题就是。

一个模拟输入,被采样,其实就是输入信号与冲击函数的卷积。

这个卷积与某个未知的滤波器再次卷积之后,得到了输入信号。

那么这个未知的滤波器是怎样的呢?

显然这是比那个微分方程更无法解决的微分方程。

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OTB| | 2017-2-11 11:19 | 只看该作者
对于采样来说。

那么通过本大师的上述教导。

那么所有国产教科书及其受害者已经中国的学术界。

如果不是傻子的话,一个仅仅就是和街头乞丐要钱完全一样的性质,其实就使中国的学术界和教科书的敛财方式。

谢谢大家! 

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80
OTB| | 2017-2-11 11:27 | 只看该作者
因此。

这个恢复用低通滤波器的选择很重要。

如果选择不当,那么采样定律就失效了。

然而只要这个恢复用的低通滤波器。

其转折频率与输入信号的最高频率相同。

对于理想的低通滤波器来说。

就可以得到输入信号,被采样之后的“如影随形”的输出信号。

而这个输出“如影随形”的输出就可以算是输入采样后的模拟恢复了。

不能要求“如影随形”的输出与输入完全相等。

而是只要能够“如影随形”就可以了。

那么对于奈奎斯特的年代。

人们传送音频信号,如此采样和滤波恢复,就得到了当时人们的满意,那么采样定律就可以大行其道了。

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