[电路/定理]

经常误解的采(抽)样定理!

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楼主: xukun977
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OTB| | 2017-2-12 13:50 | 显示全部楼层
nethopper 发表于 2017-2-12 13:17
你说的这段话意思是采样定理不能恢复幅度大小?幅度的准确度要靠在一个周期中加密采样点来实现?

因为恢复使用了低通滤波器。

不可能是理想的低通滤波,现实的低通滤波必定最大幅度小于实积输入,而最小幅度大于实际幅度。

只有提高采样频率,才能提高幅度的精度。

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captzs| | 2017-2-12 15:33 | 显示全部楼层
zyj9490 发表于 2017-2-12 10:50
原来输入序列以T的采样间隔得到的实际的序列,如,1,2,3,4,5,1,2,5,这是输入侧,到输出时,以T/4 ...

这样输入序列要先存储,再经间隔变换后输出,
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zyj9490| | 2017-2-12 16:13 | 显示全部楼层
captzs 发表于 2017-2-12 15:33
这样输入序列要先存储,再经间隔变换后输出,

YES

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captzs 2017-2-12 17:02 回复TA
TKS 
nethopper| | 2017-2-12 21:15 | 显示全部楼层
zyj9490 发表于 2017-2-12 10:50
原来输入序列以T的采样间隔得到的实际的序列,如,1,2,3,4,5,1,2,5,这是输入侧,到输出时,以T/4 ...

升采样在原采样数值之间补零后,要做低通数字滤波,才能减轻后面的DAC输出端模拟滤波器的压力。

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captzs| | 2017-2-12 22:08 | 显示全部楼层
“0升频”的方法没有试过;但是扩展脉宽方法试过还可以,即将脉冲序列的每个脉宽扩展数倍,但是不改变原周期。
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zyj9490 2017-2-12 22:22 回复TA
应是一样的, 
captzs| | 2017-2-12 22:43 | 显示全部楼层
扩展电路兼输入隔离。
扩展.GIF

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nethopper| | 2017-2-14 19:34 | 显示全部楼层
本帖最后由 nethopper 于 2017-2-14 19:42 编辑

若要利用离散时间的采样序列完美无损地恢复连续波形,需要将该离散序列通过理想的低通滤波器(具有完美的幅频响应及线性相位),从时域上说,就是将该离散序列序列与SINC函数卷积来实现(见第36楼给出的Whittaker–Shannon插值公式),而SINC函数在时间轴的正负向都是无限长的,是非因果的。

模拟滤波器通常是因果的,即输出由当前的输入和以前的输入决定,难以实现完全理想的线性相位。而数字FIR滤波器容易通过一定延迟来实现非因果滤波,也比较容易实现较好的幅频特性和完美的线性相位(冲激响应对称即可,虽然反对称也行,不过重构滤波不用),不过无限长的SINC函数无法实现,必须截短。为了平滑截短后在幅频特性上造成的起伏和过冲,通常还需要加窗。

下面是不加窗的截短了的SINC函数的频谱和加了Kaiser 6窗的截短了的SINC函数的频谱。
TruncatedUnWindowedSINC.png

TruncatedKaiser6WindowedSINC.png

可见加窗后特性好很多

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OTB| | 2017-2-14 21:31 | 显示全部楼层
哈哈。

原来SINC就是本大师前面提到的那个微分方程的一个解。

本大师教导你们说。

一个信号被采样之后。

其脉冲序列与一个未知的函数的卷积等于输入信号。

这是一个类似f'(t)*f(t) =8的微分方程。

要解f(t)几乎不可能。

至少这个方程就是无解的。

看来奈奎斯特或香浓找到了其中的一个解。

那就是SINC。

既然如此。

那么为何国产教科书从来没有提到呢?

其实道理非常简单。

那就是国产教科书及其受害者们GP不懂。

谢谢大家!

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OTB| | 2017-2-14 21:35 | 显示全部楼层
看来。

谢谢大家!

了解历史是多么地重要。

只要了解了历史。

了解了奈奎斯特和香浓的历史事实。

任何国产教科书及其受害者们。

就会异口同声地发出。

原来本大师早就做到了当时的湘农和奈奎斯特的所作所为。

奈奎斯特和香浓不过就是充分实现了本大师的教导而已。

这是一个不争的事实。

再次感谢大家!

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OTB| | 2017-2-14 21:37 | 显示全部楼层
看来无论国产教科书及其受害者们。

如何胡言乱语。

如何掩盖事实和历史。

都无法逃出本大师的法眼。

一切都在本大师的教导之中。

而没有之外。

谢谢大家1

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OTB| | 2017-2-14 21:46 | 显示全部楼层
Well,Well,Well。

Let本大师make it clear。

谢谢大家!

信号需要被采样。

因为模拟信号传递过程失真过大。

而如果采样之后数字传输失真就小了很多。

数字采样和传送是相当具有现实的意义的。

那么和奈奎斯特的稳定判据一样。

奈奎斯特和其学生湘农(就是一个湖南的农民的意思)就想:如果从理论上证明大家都耳熟能详的事实呢?

例如稳定判断问题,工厂技术人员,当时都知道那么回事,但就是没有人能从理论上给出一个证明。

奈奎斯特作为一个和阿里巴巴一样的快乐的年轻人。

就义不容辞地接受了这个挑战。

从而发明了奈奎斯特采样定律和稳定判据。

再次感谢大家!

那么言归正传。

既然采样的意义重大,甚至比稳定判据更具备科学技术和商业的重要意义。

那么奈奎斯特就再一次地义不容辞地接受了采样定律的研制工作。

因为采样定律比稳定判据更具备商业价值。

因此奈奎斯特伙同其学生湘农(一个湖南的农民)。

正是研发采样定律。

那么其实就完成了本大师给布置的一个家庭作业而已。

这个家庭作业就是:

已知一个函数f(t),其被采样之后,找到一个函数(其实就是sinc),其采样的序列与这个未知函数(sinc)的卷积等于输入信号。

那么显然奈奎斯特和湘农(一个湖南的农民),完成了本大师的作业。

仅此而已。

这完全可以写进毫无意义的国产教科书中。

以令所有的国产教科书的受害者们醒悟。

再次感谢大家1 

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OTB| | 2017-2-14 22:47 | 显示全部楼层
Well,Well,Well。 

这个家庭作业简直太简单了。

f(t)被采样后为f(kTs)。

设未知函数为X(kTs)。

2者的卷积就是输出。

取富立业变换之后就是F(f(kTs))*F(X(kTs))=F(f(Kts))。

那么F(X(kTs))=1。

取其富立业的反变换就是SInc(kTs)了。

Tooo Easy。

TOooooo Simple。

谢谢大家! 

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nethopper| | 2017-2-15 18:00 | 显示全部楼层
本帖最后由 nethopper 于 2017-2-15 18:02 编辑

利用离散时间的采样序列来恢复连续波形意味着要通过插值来加密原来的采样序列,当加密到相邻两个采样点之间的时间间距无穷小时,就变成连续波形了;或者加密到一定程度后,再由DAC输出,就会大大地降低对DAC输出端的模拟重构滤波器的特性要求。加密采样序列也叫做升采样。升采样的方法是先在原采样点之间补零(Zero Stuffing)以加密采样点,在频域上,其后果是将原信号的频谱以原采样频率fs为间隔在频率轴上复制,换句话说就是产生了很多高频的幻像频谱,这些幻像频谱可通过低通数字滤波来滤除。在原采样点之间补零并不会改变原信号基带部分的频谱,而且在做后续的数字滤波卷积时,零点还能简化计算。

下图为一个采样频率为16kHz的7kHz正弦波,从时域采样点完全看不出是什么波形,但从频谱上看却是干干静静的准准的7kHz。

BeforeUpSampling.png


现在在相邻的采样点之间补3个零(如下图),从而将采样频率提高到64kHz,从频谱上看,有7kHz, 9kHz (=16kHz-7kHz), 23kHz (=16kHz+7kHz), 25kHz (=32kHz-7kHz)谱线, 可见补零后增加了高频幻像频谱。

UpSamplingZeroStuffing.png


升采样为进行【原采样频率】/2的低通数字滤波留下的空间,最后做SINC低通滤波得到下图。前面为了方便介绍补零的影响举了个采样率升4倍的例子,下图是升采样更多倍出来的。

AfterUpSampling.png








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OTB| | 2017-2-16 11:16 | 显示全部楼层
Well。

国产教科书说:阶跃变化函数不满足绝对可积分,但是依然存在傅立叶变换。

是否是吃错了药了呢?

答案是肯定的。

谢谢大家!

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OTB| | 2017-2-16 11:21 | 显示全部楼层
Well,Well,Well。

关于采样的恢复问题。

其方程应该是这个样子的。

输入信号f(t)。

与冲击函数的卷积就是采样序列f(kTs)。

Ts为采样周期。

k是自然数。

那么什么样的函数X(t)能满足:

f(kTs)与X(t)的卷积=f(t)。

通过取傅立叶变换得到:

F[f(kTs)]*F[X(t)]=F[f(t)]

于是;

F[X(t)]=F[f(t)]/F[f(kTs)]

取反变换得到:

X(t)=F[f(t)]/F[f(kTs)]的傅立叶反变换。

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OTB| | 2017-2-16 12:16 | 显示全部楼层
本大师发现。

国产教科书懒的连欧米伽的符号都懒得写,而用W表示。

也有用u表示欧米伽的。

一个连欧米伽符号都懒的键盘输入的教科书,绝对是不负责的教科书。

在过去。

打字机无法打出欧姆伽符号,从而用W表示,情有可原。

但也仅限于西方人可以这么用。

对于国产教科书来说,如今都是计算机输入,任何软件都不可能不提供欧米伽的符号,再不使用原装的欧米伽符号,而用W或u来表示欧米伽的国产教科书,是不值得信任的。

这决不是开玩笑。 

谢谢大家1 

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OTB| | 2017-2-16 12:19 | 显示全部楼层
一个连小事都干不好的国产教科书的受害者。

绝对不是一个好的国产教科书的受害者。

一个连小事都干不好的国产教科书的受害者。

绝无可能干好大事。

信不信由你!

谢谢大家! 

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xukun977|  楼主 | 2017-2-16 12:25 | 显示全部楼层
OTB 发表于 2017-2-16 12:19
一个连小事都干不好的国产教科书的受害者。

绝对不是一个好的国产教科书的受害者。

大师加油,你单枪匹马顶到1000楼,我请你吃糖!


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OTB| | 2017-2-16 15:30 | 显示全部楼层
Well。

这里的X(t)才是真正的可重构函数。

看来学术界和教科书依然在胡说八道。

就像他们从来不知道差动放大电路而发明所谓的“半边等效电路”一样。

都是十足的概念错误。

还是那句老话。

工厂技术人员才是科学发展的主流军。

才是真正的英雄。

像奈奎斯特和爱迪生以及众多能够发明创新的学术界人士一样。

而教科书的作者则注定就是死记硬背形的2流的学者。

再次感谢大家! 

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OTB| | 2017-2-16 15:35 | 显示全部楼层
事实是这样的。

奈奎斯特等发现如果采样经过一个合适的低通滤波之后信号就可以完整恢复。

这是事实,也是实践中的必然发现。

但这个合适的低通滤波器并非就是教科书和学术界所说的“可重构函数”。

因为X(t)才是真正的可重构函数,但是和f'(t)*f(t)=8这个方程一样,是无法得到解析解的。

但工程技术人员使用的低通滤波器确实可以在工程上足够精确地实现“恢复和重构”。

但教科书和学术界并不明白这里的道理。 

而是在生搬硬套sinc这个函数。

看来正确答案只能由本大师揭晓了。

谢谢大家! 

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