相量分析

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 楼主 | 2018-3-20 19:31 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 HWM 于 2018-3-20 19:34 编辑

设简谐信号如下

    x = ρ cos(ωt+φ)

那么可以用其相量形式(一种变换)表示

    X = ρ e^(j(ωt+φ)) =  ρ e^(jφ) e^(jωt)

其变换关系可表为

    x ↔ X

显然,简谐信号x的和差运算对应于相量X的和差运算,即

    x1 ± x2 ↔ X1 ± X2

其中

    x1 ↔ X1

    x2 ↔ X2

针对LTI系统,对于输入简谐信号激励,稳态下其输出为相应信号的相移θ(ω)及其幅度的一个因子A(ω),具体见下式

    y = A(ω) ρ cos(ωt+φ+θ(ω))

根据相量变换规则,可表示成下面的相量形式

    Y = A(ω) e^(jθ(ω)) ρ e^(jφ) e^(jωt)

可见其运算形式变得更为简洁——乘上一个复数因子。

对于简谐信号的微分运算——导数,采用相量分析同样可以得到非常简洁的形式,具体见下式

    dX/dt = jω ρ e^(jφ) e^(jωt)

从上面可以看到,所有的相量最后都有一个公共因子——e^(jωt)。相量分析通常会省略掉这个公共因子,但在做微积分运算时必须注意到这个因子的存在。

最后还需注意,必须对相量取实部才有意义(回到相应的简谐信号)。

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