几个常用的变换简介

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楼主: HWM
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HWM|  楼主 | 2018-4-28 12:32 | 显示全部楼层
根据前面拉普拉斯的定义,再给出相应的拉普拉斯变换,如下。

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HWM|  楼主 | 2018-4-28 12:33 | 显示全部楼层
拉普拉斯变换
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HWM|  楼主 | 2018-4-28 12:48 | 显示全部楼层
由于此例是一个有限区间内非零的函数,这两个变换都存在(经典意义下)。注意其拉普拉斯变换的变量s,这个变换后的函数在整个除去0外的所有区域内都存在,即其定义域为C-{0}(C表示复数域)。并且特别注意这两个函数变换后所得“解析式子”是不一样的。

下面令X趋于无穷大,这样就变成了阶跃函数。下面看看相关的拉普拉斯变换。

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HWM|  楼主 | 2018-4-28 12:52 | 显示全部楼层
阶跃函数的拉普拉斯变换
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HWM|  楼主 | 2018-4-28 13:00 | 显示全部楼层
注意上面的红字部分。取极限后,解析式子中的差异消失了,其差异性转到了收敛区域(ROC)的不同上。显然,不同区域相应函数的收敛性不同,在收敛区域内等式成立,反之不成立。

看看下图,直观感受一下相关的收敛域(ROC)。

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HWM|  楼主 | 2018-4-28 13:04 | 显示全部楼层
收敛区域(ROC)
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HWM|  楼主 | 2018-4-28 13:20 | 显示全部楼层
收敛域(ROC)在拉普拉斯变换中起着重要的作用,其决定了拉普拉斯反变换中复变函数的积分路径,而由此也确定了相关的原像函数。

拉普拉斯变换后所得“解析函数”中缺失的信息,转到了拉普拉斯变换的收敛域上。

注意,下面的关系

在上例中,这些式子是成立的

    F(s)=L[f(x)]

其中“L[f(x)]”表示拉普拉斯积分变换

下式是不成立的

    F(s) = 1/s

    L[f(x)] = 1/s

必须写成

    F(s) = 1/s         (Re{s}>0)

    L[f(x)] = 1/s      (Re{s}>0)

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HWM|  楼主 | 2018-4-28 13:30 | 显示全部楼层
到此,所说的都是全区域的拉普拉斯变换,也称双边拉普拉斯变换

由于指数因子只在一个方向上具有指数衰减特性,如果限制函数(或信号)只出现在单边上,那么拉普拉斯变换将有更好的性质,而通常的时域函数(信号)就可以如此处理。

下面先看单边拉普拉斯变换定义。

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HWM|  楼主 | 2018-4-28 13:33 | 显示全部楼层
单边拉普拉斯变换
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HWM|  楼主 | 2018-4-28 13:36 | 显示全部楼层
注意上面的单边拉普拉斯变换存在定理,其说明了拉普拉斯变换的适应性和其所得函数的解析分析特性。

下面看看拉普拉斯变换的几个性质和定理。

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HWM|  楼主 | 2018-4-28 13:39 | 显示全部楼层
性质和定理
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HWM|  楼主 | 2018-4-29 07:12 | 显示全部楼层
性质和定理续

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HWM|  楼主 | 2018-4-29 07:13 | 显示全部楼层
给几个常用的拉普拉斯变换对,注意其等式右面的有理式子以及相关的收敛域(ROC)

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HWM|  楼主 | 2018-4-29 07:14 | 显示全部楼层
常用的拉普拉斯变换对

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billypeng| | 2018-5-1 18:13 | 显示全部楼层
辛苦了。

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HWM|  楼主 | 2018-5-2 12:39 | 显示全部楼层
五)Z变换


前面已经介绍了拉普拉斯变换。对于离散时空的函数(或信号),也介绍过了其傅里叶变换的数值计算基本方法——离散傅里叶变换。那么,理论上有价值的离散时空变换是什么呢?Z变换就是一种。

Z变换,其实就是离散时空下的拉普拉斯变换,其在离散分析中的差分方程分析和求解方法中发挥着重要的作用。

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HWM|  楼主 | 2018-5-2 12:44 | 显示全部楼层
Z变换
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HWM|  楼主 | 2018-5-2 12:58 | 显示全部楼层
由上述Z变换的定义可以看出,Z变换是离散时空(n)到复平面(Z)上的变换。变换所得是一个复变量整数幂函数级数,其有很好的分析性质。而正是如此,才使得离散时空信号分析有了一个非常有效的强大工具。

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HWM|  楼主 | 2018-5-2 13:02 | 显示全部楼层
下面看两个例子,具体了解一下Z变换后的复变函数及其收敛域

先看有限区间非零的情况。

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HWM|  楼主 | 2018-5-4 21:58 | 显示全部楼层
有限区间非零
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