本帖最后由 enderman1 于 2018-12-20 13:05 编辑
相信网上现在有很多关于FFT的教程，我曾经也参阅了很多网上的教程，感觉都不怎么通俗易懂。在基本上的研究FFT，并且通过编程的形式实现之后。我决定写一篇通俗易懂的关于FFT的讲解。因此我在接下来的叙述中尽量非常通俗细致的讲解。 本人最早知道傅里叶变换的时候是沉迷于音乐的频谱跳动无法自拔，当时就很想做一个音乐频谱显示器。搜阅了很多资料之后，才了解到傅里叶变换，和FFT。当然这都是以前的事情了，经过了系统的学习+2个星期的研究，自制了一个FFT的算法，不敢说速度上的优势，但是个人认为是一种通俗易懂的实现方法。经过实际的VC++模拟实验、和STM32跑的也很成功。
首先，要会FFT，就必须要对DFT有所了解，因为两者之间本质上是一样的。在此之前，先列出离散傅里叶变换对(DFT):
,k=0,1,…N-1
n=0,1…N-1
其中：
但是FFT之所以称之为快速傅里叶变换，就利用了以下的几个性质（重中之重！）
周期性：
对称性：
可约性：
先把这仨公式放到这，接下来会用到。
根据这几个特性，就可以将一个长的DFT运算分解为若干短序列的DFT运算的组合，从而减少运算量。在这里，为了方便理解，我就用了一个按时间抽取的快速傅里叶变换（DIT-FFT）的方法。
首先，将一个序列x(n)一分为二
对于
,k=0,1,…N-1 设N是2的整次幂 也就是N=2^M 将x(n)按照奇偶分组
x(2r)=x1(r) x(2r+1)=x2(r) r=0,1,…..(N/2)-1 那么将DFT也分为两组来预算
( 第一项是偶 第二项是奇)
这个时候，我们上边提的三个性质中的可约性就起到作用了： 回顾一下：
那么这个式子就可以化为：
(式1-1) 则X1(k)和X2(k)都是长度为N/2的序列 x1(k)和x2(k)的N/2点的离散傅里叶变换 其中： K=0,1,2…N/2-1 至此，一个N点的DFT就被分解为2个N/2的DFT。但是X1(k),和X2(k)只有N/2个点，也就是说式子（1-1）只是DFT前半部分。要求DFT的后半部分可以利用其对称性求出后半部分为： (式1-2)
那么式（1-1）和（1-2）就可以专用一个蝶形信号流图符号来表示。如图：
以N=8为例，可以用下图表示：
通过这样的分解，每一个N/2点DFT只需(N^2)/4次复数相乘计算，明显的节省了运算量。 以此类推，继续将已经得出的X1(k)和X2（k）按照奇偶分解，还是和上边一样的方法。那么就得出了百度上都可以找到的一大推的这个图片了。 （笑）
对于这张图片我想强调的一点就是第二阶蝶形运算的时候，WN0之后不应该是WN1吗，为什么是W2N了，这个问题之前困扰了我一段时间，但是不要忘了，前者的 W0N的展开是W0N/2 因为此时N已经按照奇偶分开了，所以是N/2 而W2N/2也就是 W2N是根据可约性得出的，在这里不能混淆.。
对于运算效率就不用多提了
以上就是FFT算法的理论内容了，接下来就是用C语言对这个算法的实现了，对于FFT算法C语言的实现，网上的方法层出不穷，介于本人比较懒（懒得看别人的程序），再加上自给自足丰衣足食的原则，我自己也写了一个个人认为比较通俗易懂的程序，并且为了帮助读者理解，我特意尽量减少了库函数的使用，一些基本的函数都是自己写的（难免有很多BUG），但是作为FFT算法已经够用了，目前这个程序只能处理2^N的数据，理论上来讲如果不够2^N的话可以在后面数列补0这种操作为了简约我也就没有实现，但是主要的功能是具备的，下面是代码： /*
时间：2018年11月24日
功能：将input里的数据进行快速傅里叶变换 并且输出
*/
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#define PI 3.1415926
#define FFT_LENGTH 8
double input[FFT_LENGTH]={1,1,1,1,1,1,1,1};
struct complex1{ //定义一个复数结构体
double real; //实部
double image; //虚部
};
//将input的实数结果存放为复数
struct complex1 result_dat[8];
/*
虚数的乘法
*/
struct complex1 con_complex(struct complex1 a,struct complex1 b){
struct complex1 temp;
temp.real=(a.real*b.real)-(a.image*b.image);
temp.image=(a.image*b.real)+(a.real*b.image);
return temp;
}
/*
简单的a的b次方
*/
int mypow(int a,int b){
int i,sum=a;
if(b==0)return 1;
for(i=1;i<b;i++){
sum*=a;
}
return sum;
}
/*
简单的求以2为底的正整数
*/
int log2(int n){
unsigned i=1;
int sum=1;
for(i;;i++){
sum*=2;
if(sum>=n)break;
}
return i;
}
/*
简单的交换数据的函数
*/
void swap(struct complex1 *a,struct complex1 *b){
struct complex1 temp;
temp=*a;
*a=*b;
*b=temp;
}
/*
dat为输入数据的数组
N为抽样次数 也代表周期 必须是2^N次方
*/
void fft(struct complex1 dat[],unsigned char N){
/*最终 dat_buf计算出 当前蝶形运算奇数项与W 乘积
dat_org存放上一个偶数项的值
*/
struct complex1 dat_buf,dat_org;
/* L为几级蝶形运算 也代表了2进制的位数
n为当前级蝶形的需要次数 n最初为N/2 每级蝶形运算后都要/2
i j为倒位时要用到的自增符号 同时 i也用到了L碟级数 j是计算当前碟级的计算次数
re_i i_copy均是倒位时用到的变量
k为当前碟级 cos(2*pi/N*k)的 k 也是e^(-j2*pi/N)*k 的 k
*/
unsigned char L,i,j,re_i=0,i_copy=0,k=0,fft_flag=1;
//经过观察，发现每级蝶形运算需要N/2次运算，共运算N/2*log2N 次
unsigned char fft_counter=0;
//在此要进行补2 N必须是2^n 在此略
//蝶形级数 (L级)
L=log2(N);
//计算每级蝶形计算的次数(这里只是一个初始值) 之后每次要/2
//n=N/2;
//对dat的顺序进行倒位
for(i=1;i<N/2;i++){
i_copy=i;
re_i=0;
for(j=L-1;j>0;j--){
//判断i的副本最低位的数字 并且移动到最高位 次高位 ..
//re_i为交换的数 每次它的数字是不能移动的 并且循环之后要清0
re_i|=((i_copy&0x01)<<j);
i_copy>>=1;
}
swap(&dat[i],&dat[re_i]);
}
//进行fft计算
for(i=0;i<L;i++){
fft_flag=1;
fft_counter=0;
for(j=0;j<N;j++){
if(fft_counter==mypow(2,i)){ //控制隔几次，运算几次,
fft_flag=0;
}else if(fft_counter==0){ //休止结束，继续运算
fft_flag=1;
}
//当不判断这个语句的时候 fft_flag保持 这样就可以持续运算了
if(fft_flag){
dat_buf.real=cos((2*PI*k)/(N/mypow(2,L-i-1)));
dat_buf.image=-sin((2*PI*k)/(N/mypow(2,L-i-1)));
dat_buf=con_complex(dat[j+mypow(2,i)],dat_buf);
//计算 当前蝶形运算奇数项与W 乘积
dat_org.real=dat[j].real;
dat_org.image=dat[j].image; //暂存
dat[j].real=dat_org.real+dat_buf.real;
dat[j].image=dat_org.image+dat_buf.image;
//实部加实部 虚部加虚部
dat[j+mypow(2,i)].real=dat_org.real-dat_buf.real;
dat[j+mypow(2,i)].image=dat_org.image-dat_buf.image;
//实部减实部 虚部减虚部
k++;
fft_counter++;
}else{
fft_counter--; //运算几次，就休止几次
k=0;
}
}
}
}
void main(){
int i;
//先将输入信号转换成复数
for(i=0;i<FFT_LENGTH;i++){
result_dat[i].image=0;
//输入信号是二维的，暂时不存在复数
result_dat[i].real=input[i];
//result_dat[i].real=10;
//输入信号都为实数
}
fft(result_dat,FFT_LENGTH);
for(i=0;i<FFT_LENGTH;i++){
input[i]=sqrt(result_dat[i].real*result_dat[i].real+result_dat[i].image*result_dat[i].image);
//取模
printf("%lf\n",input[i]);
}
while(1);
}
这个程序中input这个数组是输入信号，在这里只模拟抽样了8次，输出的数据也是input，如果想看其它序列的话，可以改变FFT_LENGTH的值以及 input里的内容，程序输出的是实部和虚部的模，如果单纯想看实部或者虚部的幅度的话，请自行修改程序~
这就是本次浅谈FFT以及FFT算法的基本实现的全部内容了
原创内容转载其注明原作者. 
参考书籍：数字信号处理
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楼主
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，那3层叠形运算，不用现成的处理方法 ，自己写很烧脑子，还是抄网上的好
