格物致知04——有限角位移不是矢量

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maychang|  楼主 | 2019-2-27 09:06 | 显示全部楼层 |阅读模式
  有限角位移不是矢量,这个话题是从这样一个帖子引起的。
01 xukun977《什么叫矢量?》.png
          图(01)
  此帖首楼,即声称“并非所有矢量加法都是满足平行四边形定律的”。
02 xukun977《什么叫矢量?》中说旋转的物体矢量加法不满足平行四边形法则.png.png
         图(02)
  当网友问“有的矢量加法不满足平行四边形法则?”时,回复是非常肯定的“当然有了,旋转的物体!”


  力学中说到“旋转的物体”,通常是指刚体。如果是像果冻那样的弹性体,因为弹性体可以变形,弹性体内各点转动的角度不一样,就谈不到转动的角度。
  在现代,无论是哪个版本的普通物理学,都会讲到刚体的定轴转动,并用“角位移”来描述刚体定轴转动时所转过的角度。图(03)是从江守洙等《普通物理学》第一册176页截取的一段,里面明确提到对定轴转动的刚体内任意点角位移都是相同的。这段还明确提到对定轴转动的刚体内任意点不仅角位移相同,角速度和角加速度也都相同。

03 刚体的定轴转动 程守洙等《普通物理学》第五版第一册176页.png
         图(03)  刚体的定轴转动 程守洙等《普通物理学》第五版第一册176页
  但是,该书177页明确地说“角速度”是个矢量,却没有说“角位移”是矢量,见图(04)。
04 刚体的定轴转动 程守洙等《普通物理学》第五版第一册177页.png
        图(04)  刚体的定轴转动 程守洙等《普通物理学》第五版第一册177页
  问题可就来了:标题中说有限角位移不是矢量,书上说角速度是矢量。角速度是角位移对时间的一阶导数。一个不是矢量的量,怎么能够对时间求导之后就成了矢量了?
  我们先说说有限角位移不是矢量。
  位移是矢量,这毫无疑问。位移这个矢量满足交换律。图(05)中,平面上一个点从O处先向右移动4米到达A处,再从A处直角左转移动3米到达B处。另一次移动中则从O处先向上移动3米到达C处,再从C处直角右转移动4米到达D处。从欧几里德几何学的知识,我们相信B点和D点是同一点。交换顺序而结果相同,显然,在这个问题里面,位移矢量满足交换律。

05 交换律.png
         图(05)
  矢量必须满足交换律,不满足交换律的就不能称为矢量。
  但是,刚体的转动就不满足交换律,见图(06)和图(07)。

06 Y_Z.png
         图(06)
  图(06)是一个长方体,先绕Y轴旋转90°,再绕Z轴旋转90°。
07 Z_Y.png
         图(07)
  图(07)则是同一个长方体,先绕Z轴旋转90°,再绕Y轴旋转90°。
  两次旋转,交换顺序,结果不同,可见物体的转动(角位移)不满足交换律。既然不满足交换律,物体的转动(角位移)不是矢量。
  既然角位移不是矢量,那么图(04)为什么又说角速度是矢量呢?角速度是角位移对时间的导数,一个不是矢量的量,求导后怎么能够成为矢量?
  角位移不是矢量,是指有限角位移,例如图(06)和图(07)里面物体转动都是90°,是有限角位移。但是,无穷小角位移却是矢量。

08 1A球面.png
         图(08)
  为了说明有限角位移不是矢量,无穷小角位移是矢量,我们先建立一个球面座标系,如图(08)。也为了说明方便,我们把这个球面座标系看成地球,并采用地理上的说法。一个点在球面上的运动,可以看成这个固定座标系下一个刚体球绕球心的转动。

09 1B球面.png
         图(09)
  令φ和 ψ表示互相垂直的两个角位移。我们先让φ和 ψ大一些,表示转动90°。
  第一次,从0°经线(本初子午线)和0°纬线(赤道)相交处开始,一个点先沿赤道向东运动,对球心的角位移φ为90°,到达东经90°处的A点。再直角向左,对球心的角位移ψ为90°,最后到达北极处,终点为B点。如图(09)。

10 1C球面.png
         图(10)
  第二次,仍从0°经线(本初子午线)和0°纬线(赤道)相交处开始,一个点先沿本初子午线向北运动,对球心的角位移ψ为90°,到达北极处的C点。再直角向右,沿东经90°线,对球心的角位移φ为90°,最后到达东经90°线与赤道交点D。如图(10)。
  互相交换顺序的两次转动结果,B点和D点,一个在赤道,一个在北极,相距很远。所以,对球心90°的角位移不满足交换律,肯定不是矢量。

11 1D球面.png
          图(11)
  图(09)和图(10)毕竟是相当大的角位移,涵盖了整整一个卦限。我们再来看看比较小的对球心的角位移。
  仍然是从0°经线和0°纬线相交处开始,令φ为对球心20°的角位移,ψ为对球心15°的角位移。
  第一次,先φ后ψ,运动点先沿赤道向东,对球心角位移20°到达A点,然后直角向左,对球心角位移15°到达B点。显然,B点就是北纬15°线与东经20°线的交点。如图(11)。

12 1E球面.png
          图(12)
  第二次,先ψ后φ,运动点先沿0°经线向北,对球心角位移15°到达C点,然后直角向右,对球心角位移20°到达D点。如图(12)。
  注意,和第一次不一样,运动点达C点后直角向右,并不是沿北纬15°线移动,其移动的轨迹是在一个大圆上,该大圆过东经90°线和西经90°线与赤道的交点,并在0°经线上与北纬15°线相切,在180°经线上与南纬15°线相切,如图(12)中绿色虚线所示。
  既然运动点是沿这个大圆移动,可以推断D点一定在北纬15°线之南。既然北纬15°线总长度比赤道短,可以推断D点一定在东经20°线以东。也就是说,D点在B点东南。D点和B点并不重合。角位移φ和ψ小了,但还不满足交换律,不是矢量。
  但是我们看到,相比图(09)和图(10)中B点和D点一个在北极一个在赤道的90°角距离,图(12)中B点和D点之间的角距离可是小得太多了。
  我们不妨想像一下:φ和ψ从90°减小到15°和20°,B点和D点之间的角距离就减小了这么多。那要是φ和ψ减小到2°和3°,或是减小到0.2°和0.3°,又会如何?显然,直观地看,φ和ψ越小,B点和D点之间的角距离就越小,而且比φ和ψ减小得更快。φ和ψ越小,两个角位移交换顺序所包围的那一小块球面(并不是封闭的)越接近于一个平面。
  利用球面三角知识,图(12)中B点和D点之间对球心的角距离θ是可以根据φ和ψ计算出来的。换句话说,我们可以根据球面三角知识写出θ随φ和ψ变化的函数。
  我们已经看到,θ是随φ和ψ的减小而急剧减小。利用球面三角知识写出θ随φ和ψ变化的函数后,可以证明:当φ和ψ趋于0时θ也趋于0,而且θ比φ和ψ更快地趋于0,换句话说,θ是φ和ψ的高阶无穷小
  既然φ和ψ交换顺序的结果θ在φ和ψ趋于0时是个高阶无穷小,那么我们就可以说:φ和ψ趋于0时满足交换律。
  根据同样的推导过程,我们还可以推导出:有限角位移不满足结合律,但无穷小角位移满足结合律。
  所以,有限角位移不是矢量,因为有限角位移不满足交换律。但无穷小角位移是矢量,因为无穷小角位移满足交换律和结合律。
  既然无穷小角位移是矢量,那么角速度是矢量就是自然而然的了,因为角速度正是角位移对时间的一阶导数。
  普通物理课程通常不会讲到有限角位移不是矢量,因为普通物理只讲刚体的定轴运动,不会讲到刚体的定点运动。而刚体的定轴运动,角速度矢量实际上只会沿转动轴,只有正反两个方向,因为定轴运动的转动轴方向是不变的。而刚体的定点运动则瞬时转动轴方向可能随时变化。这种瞬时转动轴方向随时变化的情况,就必须说明有限角位移不是矢量,无穷小角位移才遵循交换律和结合律,是矢量。

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maychang|  楼主 | 2019-2-28 11:54 | 显示全部楼层
xukun977在《电场和磁场都是物质》一帖中说满足交换律与否来判断是不是矢量是误人子弟.png

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maychang|  楼主 | 2019-2-28 11:55 | 显示全部楼层
本帖最后由 maychang 于 2019-2-28 11:59 编辑

赵凯华《力学》第二版附录444~446页.png
赵凯华《力学》第二版附录444~446页

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