剖析《信号与线性系统》

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HWM|  楼主 | 2020-9-8 10:10 | 显示全部楼层 |阅读模式
《信号与系统》是一门基础课程,相关专业几乎都必须学过。其实,通常所学的仅仅是线性系统相关的知识。对于非线性系统,由于其运用到与线性系统截然不同的知识和工具,所以当属完全不同的范畴。既然《信号与系统》主要就是研究线性系统的,那么不妨就正名为《信号与线性系统》。

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HWM|  楼主 | 2020-9-8 10:12 | 显示全部楼层
关于线性空间及其变换,有一门更为基础的课程——《线性代数》,关于此有个相关的帖子——剖析《线性代数》。作为相关知识入门,可以看看那个帖子

剖析《线性代数》
https://bbs.21ic.com/icview-2480964-1-1.html

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HWM|  楼主 | 2020-9-8 10:14 | 显示全部楼层
《线性代数》通常涉及到有限维线性空间及其变换,而到了《信号与线性系统》则将涉及到无限不可列维线性空间及其相关的线性变换,这将涉及一些基础数学知识。关于这些基础数学,这里默认已经学过,故不具体提及。

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HWM|  楼主 | 2020-9-8 10:15 | 显示全部楼层
关于《信号与线性系统》的剖析系列,将从其基本“骨架”开始,然后逐步充实至丰满。这个从下面的论述就可以看到,仅仅“几条”就把《信号与线性系统》(连续信号)勾勒出来。

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HWM|  楼主 | 2020-9-8 10:17 | 显示全部楼层
下面就开始剖析《信号与线性系统》。

线性空间及线性变换.PNG

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HWM|  楼主 | 2020-9-8 10:22 | 显示全部楼层
上面给出了信号线性空间及其相关线性变换的时间域表示。

由此,可以看看相关的一些特性。

系统的因果性和稳定性.PNG

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HWM|  楼主 | 2020-9-8 10:26 | 显示全部楼层
信号还可以更换到频率域表示。

信号的频域表示.PNG

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HWM|  楼主 | 2020-9-8 10:27 | 显示全部楼层
上面只是换了基底而已,而这就是通常所谓的傅里叶变换

那么,如果给出了信号的频率域表示,又如何变换成时间域呢?

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HWM|  楼主 | 2020-9-9 14:42 | 显示全部楼层
之前的线性系统(线性变换)未考虑系统的初始态,或设系统初始态为零。其实,那只是系统的零状态响应。

下面将考虑系统的初始状态,给出相应的全相应

全响应.PNG

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HWM|  楼主 | 2020-9-15 12:04 | 显示全部楼层
前面大致看了看信号的时间域分析,下面简单看一下信号的频率域分析。

单谐信号-1.PNG

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HWM|  楼主 | 2020-9-15 12:09 | 显示全部楼层
上面给出了单谐信号(正弦信号)傅里叶变换,注意其频域含有δ函数(广义函数)。

下面进一步看看周期信号的频域分析。

傅里叶级数-1.PNG

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HWM|  楼主 | 2020-9-15 12:13 | 显示全部楼层
注意周期函数傅里叶级数与相应频域分析(傅里叶变换)的关系。

周期函数频域可含一系列的δ函数,这表明了其频域的离散性。

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HWM|  楼主 | 2020-9-25 12:05 | 显示全部楼层
关于傅里叶变换,下面给出几个特性:

傅里叶变换特性-1.PNG
傅里叶变换特性-2.PNG

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HWM|  楼主 | 2020-9-27 11:52 | 显示全部楼层
卷积定理以及LTI系统的频域表示

卷积定理.PNG

线性时不变系统频域分析.PNG

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HWM 2020-9-27 12:02 回复TA
补充:ζ=jω 
HWM|  楼主 | 2020-9-27 11:55 | 显示全部楼层
卷积定理可谓是《信号与线性系统》中的一个最基本的定理,相应有LTI系统的频域表示。由此将进入到LTI系统的频域分析

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HWM|  楼主 | 2020-9-30 10:18 | 显示全部楼层
由傅里叶变换,将信号从时域变换到了频域。需注意的是,频域是从负无穷大至正无穷大的实数,即整个实数域。

因傅里叶变换后所得结果通常含广义函数,而广义函数有别于通常所见的常规函数,其不仅没有常规函数那些经典分析特性,就其理论基础也不同于常规函数,为规避这些麻烦引入了更具经典分析特性的拉普拉斯变换

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HWM|  楼主 | 2020-9-30 10:21 | 显示全部楼层
拉普拉斯变换

拉普拉斯变换-1.PNG

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HWM|  楼主 | 2020-9-30 10:29 | 显示全部楼层
傅里叶变换所得是个复函数(自变量为实数),而由上述可见,拉普拉斯变换则得复变函数(通常不含广义函数)。引入了复变函数,那么《复变函数》相关理论就可以应用于此。

上述为双边拉普拉斯变换(积分限从负无穷到正无穷),下面看右单边拉普拉斯变换

拉普拉斯变换-2.PNG

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HWM|  楼主 | 2020-9-30 10:32 | 显示全部楼层
注意上述右单边拉普拉斯变换涉及到的系统初始条件,这是拉普拉斯变换自带的。

下面看几个常用的拉普拉斯变换对:

拉普拉斯变换-3.PNG

注意其收敛域(ROC)。

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HWM 2020-9-30 13:02 回复TA
更正:sin(ω_0)和cos(ω_0)有误,应该是sin(ω_0 t)和cos(ω_0 t)。 
HWM|  楼主 | 2020-9-30 10:35 | 显示全部楼层
接下来再看看拉普拉斯变换的卷积定理

拉普拉斯变换-3a.PNG

类似傅里叶变换的卷积定理,其重要性不言而喻。

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