正本清源——1/f噪声（续）

发表于 2016-5-23 10:06

前帖，从“教科书”入手，说明了1/f噪声的渊源以及基本的工程学考量，譬如最早关于1/f噪声的发现以及早期的表述和电子工程上定0.001Hz为下限（其实，通常0.1Hz以下都少有考虑，一般下限为1Hz）。

1/f噪声通常称其为“粉红”噪声，形美但却不太好把握，其物理机制繁杂不可能建立一个“第一性原理”加以解释。

前帖说过
如果没点《概率论》（含数理统计和随机过程）之基础，谈论“噪声”基本不会太靠谱！
此帖，就是补那点东西的。

登录 · 发表于 2016-5-23 10:11

本帖最后由 HWM 于 2016-5-23 15:11 编辑

这里，假设各位对《概率论》都很懂，所以不会对基础的东西过多说明，仅给出一些基本的定义（包括符号）。先看最基本的东西：

注，这里的rxx和Cxx都已经归一化。

发表于 2016-5-23 10:13

上面的x(t)是个随机函数，严格说应该是个随机过程。

登录 · 发表于 2016-5-23 10:15

本帖最后由 HWM 于 2016-5-23 12:28 编辑

关于噪声（即x(t)），《概率论》意义下的表述是这些：

发表于 2016-5-23 10:22

噪声x(t)，不仅存在有具体时间t下的统计特性，且还存在着不同时间（譬如t1和t2）下的相关特性。这里假设是平稳随机过程（即时不变），所以仅考虑时间间隔τ。

登录 · 发表于 2016-5-23 10:26

有了这些基础，就可以进入主题了。先看个式子：

这是幂函数形式的功率谱密度。

登录 · 发表于 2016-5-23 10:30

关于这类谱密度，给张图看看：

注意，这是从白噪声到布朗运动。而所谓的1/f噪声就夹在其中间。

发表于 2016-5-23 10:35

白噪声和布朗运动都有非常理想的物理模型，而那个1/f噪声似乎有点两头不搭。

这里先给个思考题：关于布朗运动，其基本的统计特性是怎样的？

登录 · 发表于 2016-5-23 10:38

本帖最后由 HWM 于 2016-5-23 16:21 编辑

现在，该对所谓的1/f噪声给点《概率论》意义下的“定义”了，先看图：

登录 · 发表于 2016-5-23 10:45

本帖最后由 HWM 于 2016-5-23 12:31 编辑

注意上面第一个图中rxx(τ)当τ趋于无穷时的趋势，其有一条非常长的“尾巴”，这说明了此类噪声其长时间间隔的相关性相对比较强。

对应到其功率谱密度，有如下特性：

注意，这时的CT也趋于无穷大。

发表于 2016-5-23 10:52

至此，已经把1/f噪声（其实就是某种随机过程）在《概率论》范畴内给出了界定。

据此，已经有诸多类型的1/f噪声数学模型被创建以应对不同的具体应用，相关内容可以查阅相关的资料，这里就不具体说明了。

发表于 2016-5-23 12:16

HWM 发表于 2016-5-23 10:45
注意上面第一个图中rxx(t)当t趋于无穷时的趋势，其有一条非常长的“尾巴”，这说明了此类噪声其长时间间隔 ...

公式rxx(t)应为rxx(tao), 地板楼里那个公式也有此笔误

发表于 2016-5-23 12:32

nethopper 发表于 2016-5-23 12:16
公式rxx(t)应为rxx(tao), 地板楼里那个公式也有此笔误

已经更正，谢谢！

发表于 2016-5-23 12:55

个别人喜欢无聊，喜欢扣字眼，

LZ检查一下，有没有字眼可扣。

发表于 2016-5-23 14:36

HWM 发表于 2016-5-23 10:11
这里，假设各位对《概率论》都很懂，所以不会对基础的东西过多说明，仅给出一些基本的定义（包括符号）。先 ...

又看了一遍，严格地说，沙发层的5个公式组合中的第4和第5个公式存在着同一个函数的双重定义问题：第4个公式中的rxx和第5个公式中的rxx的定义不完全一致

。

发表于 2016-5-23 14:54

nethopper 发表于 2016-5-23 14:36
又看了一遍，严格地说，沙发层的5个公式组合中的第4和第5个公式存在着同一个函数的双重定义问题：第4个公 ...

一个是自相关函数（rxx），而另一个是协方差（Cxx）。

在此，Cxx未被使用。

登录 · 发表于 2016-5-23 15:03

HWM 发表于 2016-5-23 14:54
一个是自相关函数（rxx），而另一个是协方差（Cxx）。

在此，Cxx未被使用。

发表于 2016-5-23 15:12

nethopper 发表于 2016-5-23 15:03

才发现确实有问题，已经更改，谢谢！

登录 · 发表于 2016-5-23 15:27

7辏8拚而成，怎能不出错？
大家直接看原文吧：

这篇论文也是清华大学池保勇博士推荐看看的。

登录 · 发表于 2016-5-23 15:54

本帖最后由 HWM 于 2016-5-23 16:08 编辑

这里，有一点需注意的是：

功率谱密度全频域积分收敛

这是由下面的红线条件所保证的

正本清源——1/f噪声（续）

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