相关基础数学知识——关于对数

2万 · 2018-3-7 09:25

“相关基础数学知识”系列将针对电子学相关的数学知识给出专题性质的讲述。

相关知识通常都会在“21学堂”中呈现，而在此是针对某些“言论”所给出的进一步论述。

2万 · 2018-3-7 09:26

先引我在“剖析《高等数学》”中关于初等函数的论述：

下面给出三个基本初等函数，由此通过反函数与复合函数以及有限次四则运算可得到所有的初等函数。

1）幂函数

y = x^μ

其中μ是实常数。当μ=0时y = 1，这是个常数函数。

2）指数函数

y = e^x

由于指数函数具有严格单调性，所以其存在反函数，表为

y = ln(x)

由此，一般的指数函数可表示成

y = a^x = e^(ln(a)x)

其中a是大于零的实数。

3）三角函数

y = sin(x)

这里只需给出正弦函数，其他各三角函数都可以通过正弦函数有限次复合和四则运算得到。由于三角函数是个周期函数，显然不是单射，故一般意

义下不存在反函数。如果将三角函数的定义域Df（即X）限制在一个特定的周期内，就可以得到相应的严格单调函数，由此则可定义特定周期内三

角函数的反函数，而此特定周期被称为相应反三角函数的主值范围。

对于初等函数，虽然没有象映射那样特别给出其自变量的取值范围X（及定义域Df），但每个初等函数都有其自身所要求的自变量取值范围以保证

函数在实数域内有意义，而此范围被称为初等函数的自然定义域。

摘自：https://bbs.21ic.com/icview-438759-1-1.html

2万 · 2018-3-7 09:27

这里需要重点说的是“反函数”，几何上其与原函数关于y=x轴对称，意味着有下面关系：

4）反函数运算法则

如果函数f(x)存在导函数d/dx f(x)且存在可导的反函数，则其反函数的导函数是

d/dx f⁻¹(x) = 1/(d/dy f(y))

其中，x=f(y)。

显然，反函数的导数与原函数之导数呈倒数关系，这容易从“符号”关系dx/dy = 1/(dy/dx)中看到。

摘自：https://bbs.21ic.com/icview-438759-1-1.html

2万 · 2018-3-7 09:29

那么，利用导数与不定积分的关系，有如下式子：

f⁻¹(x) = ∫(1/(df(y)/dy))dx + C

其中，x=f(y)。

注意上式中的待定常数C，这不是一个任意可取的常数，其必须根据具体反函数定义确定。

譬如：

f(x) = e^x

f⁻¹(x) = ln(x)

f⁻¹(x) = ∫(1/(df(y)/dy))dx + C

其中，x=f(y)=e^y

那么，就有

f⁻¹(x) = ∫(1/x)dx + C

根据对数函数作为指数函数的反函数定义，确定“C”（实为确定定积分）

ln(x) = ∫[1,x](1/x)dx