傅立叶变换（F.T.）对每个电子工程师来说应该都不陌生，但我们不应该只是记住一个的公式，其背后的物理意义才是掌握和自如运用各种变换的核心。寒假前老师把我们叫过去给了个入门讲座。他特地强调了下F.T.背后物理意义，相比于以前见到的一些版本，似乎更“自然”些。在信号处理中，我们常常得到的是一些“乱七八糟”的“噪声”。人们当然不能直接对这些混乱的东东进行分析，所以便想出“类比法”，将这些信号与我们生活中一些常见的“简单信号”来进行比较。接着，我们的问题就来了……第一，比较当然需要一定的衡量标准，我们用什么来作为两个信号“类比”的衡量呢？我们想知道的是“复杂信号”和“简单信号”之间存在多大的“相似”，所以首先想到的就应该是两个信号的“相关性”。计算相关性很简单，其实就是将两个信号相乘再积分（连续信号），或者相乘再叠加求和（离散）。为什么呢？（假设两个信号均值为0）如果两个信号很相似，那么，根据“负负得正”等，在各个时间t上的乘积应当更多的为“正值”，积分后显然也为“正”。越相似的信号，积分后的值就越“正”——即相关性越大。（关于相关性和内积的关系，见http://bbs.sciencenet.cn/showtopic-48514.aspx）第二，究竟选取什么信号来作为我们衡量的“标准”呢？呵呵，大家都知道是正弦信号了。“为什么我们要用正弦曲线来代替原来的曲线呢？我们也还可以用方波或三角波来代替呀，分解信号的方法是无穷的，但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。用正余弦来表示原信号会更加简单，因为正余弦拥有原信号所不具有的性质：正弦曲线保真度。一个正弦曲线信号输入后，输出的仍是正弦曲线，只有幅度和相位可能发生变化，但是频率和波的形状仍是一样的。且只有正弦曲线才拥有这样的性质，正因如此我们才不用方波或三角波来表示。”（以上引自http://blog.chinaunix.net/u2/86638/showart_1866491.html）第三，激动人心的时刻！对于不同的ω，我们会得到不同频率的正弦信号，所以对每个频率的正弦信号都要计算一下它与“复杂信号”的“相关性”，即在ω轴的（-∞，+∞）都计算出“复杂信号”与“简单信号”的“相关性”。由此，我们便得到了时域到ω域的变换——傅立叶变换。其实呢，只要我们选取的“标准信号”满足：1.
正交性2.
唯一性3.
忘了⊙﹏⊙b汗（貌似是泛函里面的，没学过）我们就可以用它们来做“变换”，如小波中的方波等等。根据分析目标的不同，选择不同的“简单信号”来与“复杂信号”做“相关性”比较。 |
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