神奇和诡异的傅里叶变换。

只看该作者 · 2019-11-4 15:31

傅里叶变换本质上是一种坐标变换，同直角坐标与极坐标变换类似，是一种抽象的数学变换，因此傅里叶变换中的时域和频域，可以是单纯的两个概念，与实际中的时域与频域没有一点关系。

但是诡异和神奇的是，如果应用到信号与系统中，时域中的信号通过单纯的坐标变换，没有引入任何其他物理量，竟然可以求出来实际的频率分布。

现在有的问题是：
1. 如果应用到其他时域，譬如，f(t)表示火箭上升高度与时间的关系， g(t)表示行星绕太阳的坐标与时间的关系。对这些函数做傅里叶变换，频率是什么意思？
2.傅里叶变换只是坐标变换的一种，是以三角函数为坐标基的变换，事实上只要坐标基正交，就可以变换过去。时域做其他变换，得到的“频率”（假定也叫频率），是否也会有其他物理意义？
3. 前面说了，时域和频域，可以仅仅是两个概念，并不一定与实际物理意义相对应，对图像也可以做傅里叶变换，这是时间实际是空间坐标，但变换出来的频率，表示什么意思？有实际的物理意义吗？

1万 · 2019-11-4 16:06

图像的二维傅里叶变换，也是变换（分解）成二维图像空间上面的振动波，而且是带各种旋转角度，如附件图，好好研究下公式，你就能分析出是如何旋转了

只看该作者 · 2019-11-4 17:31

有一本书，大概是《数，科学的语言》中提到，大概意思是，历史上产生的数学，只有极少的数学是与物理相对应，是一种偶然，一种幸运，不必强求数学都要与物理对应，都要去寻求他们的物理意义，有的数学在产生之初也没啥意义，随着物理的发展，被赋予了意义，被用来描述解决物理问题。

人类存在以来，有千千万万的数学家，他们天天研究，有很多很多很多的想法成果论文，汗牛充栋吧，但是，千年以来，真正有广泛应用的数学也只有极少数，几本书就够了。剩下的绝大部分就没啥用没啥意义。

1万 · 2019-11-4 18:18

AD797 发表于 2019-11-4 17:31
有一本书，大概是《数，科学的语言》中提到，大概意思是，历史上产生的数学，只有极少的数学是与物理相 ...

做工程的最好还是形成图像，这样符合人类的直觉，能把知识点压缩到最小储存，而且不会忘记，比如B站就有拉普拉斯变换的图像解释，当然要拿诺奖，发nature, 这种学习方式比较LOW

2万 · 2019-11-4 20:00

“1. 如果应用到其他时域，譬如，f(t)表示火箭上升高度与时间的关系， g(t)表示行星绕太阳的坐标与时间的关系。对这些函数做傅里叶变换，频率是什么意思？”

“频率”就是频域内之值。既然是空间量随时间的变化，其频率就是空间位置的变化频率。

“2.傅里叶变换只是坐标变换的一种，是以三角函数为坐标基的变换，事实上只要坐标基正交，就可以变换过去。时域做其他变换，得到的“频率”（假定也叫频率），是否也会有其他物理意义？”

并不是任意“坐标变换”都可以得到“频率”，相关正交基是有一定要求的。

“3. 前面说了，时域和频域，可以仅仅是两个概念，并不一定与实际物理意义相对应，对图像也可以做傅里叶变换，这是时间实际是空间坐标，但变换出来的频率，表示什么意思？有实际的物理意义吗？”

数学是物理现实的抽象，不同具体物理现实可以抽象成一类数学概念。所以，数学概念和理论的应用必须先明确具体的物理现实对象。其实道理很简单，譬如1+1=2，具体可以有各种不同的应用。