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关于系统的响应时间计算----数学基本功

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 楼主 | 2020-10-15 11:37 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 xukun977 于 2020-10-15 11:44 编辑

关于级联系统的上升时间计算公式,绝大多数电工都知道:


313395f87c3a5ae3b8.png



但是对于这些公式是怎么来的,未必人人都知道了,下面从简单的数学谈起。




预备知识点1:知道积分的意义----黎曼和



342575f87c4e5742b2.png






预备知识点2:知道什么叫平均值----n个数先求和,再除以n,这是中学数学知识点


611875f87c5706d41a.png










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 楼主 | 2020-10-15 11:49 | 显示全部楼层
本帖最后由 xukun977 于 2020-10-15 11:53 编辑


预备知识点3:关于知识点2中的各种求和方法

这个知识点,我N年前专门发过帖子套路过了,再复习一遍。


1,电压或电流的简单求和方法

例如对于两个电压源的求和,如果信号源阻抗R1/2够小,负载阻抗够大,那么输出电压等于U1+U2

25325f87c6afc815d.png

这种电路适合于带有理想源的功率电路、带有理想仪表放大器的反馈电路。


2,权重求和

仍以两个电压源为例:

337495f87c71cefc08.png




这种电路适合于低功耗电路,当电压源内阻较大,且负载电阻较小,负载中的电流等于两个电压源中电流之和。

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 楼主 | 2020-10-15 12:07 | 显示全部楼层
本帖最后由 xukun977 于 2020-10-15 12:16 编辑

请看清楚关键动作----把平均值和积分联系起来:





254535f87cb155c27f.png





上面是算术平均,下面看看权重平均下的积分表达式。
先给出权重平均表达式:

209475f87cbb2dcaf3.png


转化为积分表达式,和上面的程序雷同,直接写出结果:



682165f87cc10a2113.png




这个表达式非常重要。

最直接的一个应用,就是量子力学中的波函数,粒子或者波的可测量性质,其平均值或期望值表达式为:


893365f87ccaeace25.png


带星号的符号是波函数的复共轭,Oop是可观测量对应的算子。


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 楼主 | 2020-10-15 12:25 | 显示全部楼层
本帖最后由 xukun977 于 2020-10-15 12:32 编辑

对于线性时不变系统,有两种响应特别重要,一是冲击响应,一是阶跃响应:

698885f87ce8fa62d2.png



137305f87cf0ca7613.png




注意上图中延迟时间t0是如何定义的,响应时间t1和t是如何定义的。


时间定义有了,直接套用上面的结论,可写出延时和响应时间的数学表达式:


375175f87cfdeca423.png




这就得到了电路理论中经常需要用到的两个结论:级联系统的总延时,是每个系统的延时之和;而总体系统的响应时间,是每个级联系统响应时间的平方根,如上图最末式所示。


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 楼主 | 2020-10-15 12:35 | 显示全部楼层


一个处处连续、却处处不可导的函数:

761605f87d1735062b.png



这个也有意思,谁来证明一下?函数表达式和结论都有了,直接用导数的定义证就行了。


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| 2020-10-15 18:30 | 显示全部楼层
好贴

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| 2020-10-15 18:49 | 显示全部楼层
感觉都丢回老师了

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 楼主 | 2020-10-16 12:12 | 显示全部楼层
本帖最后由 xukun977 于 2020-10-16 12:35 编辑

下面给出详细点的一般性证明。


证明方法是中学数学中常用归纳法。

要证明的目标:

478875f891b6d973da.png





上面已经证明过了,对于n=1的特殊情形是成立的,下面需要假设对于n-1级也是成立的,然后只要证明在此基础上,n级也是成立的。

287545f891aca8570e.png



既然假设n-1也是成立的,于是设前n-1级的整体传递函数为G,即G=H1*H2*。。。。Hn-1


197805f891bda6c411.png




而且有下式:


385375f891c65df736.png




既然上式假设是成立的,那么总体传递函数H=H1*H2*。。。。Hn=G*Hn,有:



360055f891d559b6f4.png




把上面图片中的前n-1级成立的结论,和单级结论,往上面公式里一套,就证明出目标结论:


206195f891dcbad1a5.png



下面再证第二个目标:



165555f891dfc1efab.png


上面已经证明出,对于单级系统,响应时间的平方,等于时间平方的平均,减去时间平均的平方:


670375f891eb36bcb2.png


而且时间平方的平均与传递函数之间的关系为:

69195f891f2f5d82a.png



而时间平均(延时)与传递函数关系为:


512855f891f8fb9911.png


因为分子中有二阶导数,所以先求:


877555f89207e17ffc.png




136375f8922ab260a2.png

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