一个方程解两个未知数

登录 · 发表于 2021-5-14 17:25

本帖最后由 xukun977 于 2021-5-14 17:31 编辑

已知下面的方程中，m和n是整数，a与b互质，总是能求出m和n，使得下面方程成立。

上面列举了一个数值例子，取a=325,b=116,使得方程成立的m和n是多少？

这个东东居然在电路中有用！

还是数学家会玩，两下整出来了，20秒搞定：

发表于 2021-5-14 23:09

试玩一下。
am+bn=325m+116n=1，则
a/b=325/116≈2.8，m=5或者5的倍数，则n才是整数-5*2.8=-14。

发表于 2021-5-14 23:10

captzs 发表于 2021-5-14 23:09
试玩一下。
am+bn=325m+116n=1，则
a/b=325/116≈2.8，m=5或者5的倍数，则n才是整数-5*2.8=-14。 ...

又如，
am+bn=9m+7n=1，则
a/b=9/7=1.28，n=-1.28*5*5=-32，m=5*5=25，验算，
9*25+7(-32)=225+(-224)=1，

发表于 2021-5-29 20:39

读初中时问老师，一个方程两个未知数如何解，老师说要假设一个，求另一个，有多个解。我再问，如何假设，他说难。看了X大此竖式解题法，这几天一直玩，用了几十张草稿纸，目前进到第四步，不但可以解等于1的方程，任意数也行。

登录 · 发表于 2021-5-30 18:26

captzs 发表于 2021-5-29 20:39
读初中时问老师，一个方程两个未知数如何解，老师说要假设一个，求另一个，有多个解。我再问，如何假设 ...

难度开始升级一点，求满足下式的整数x和y=？

发表于 2021-5-30 19:52

xukun977 发表于 2021-5-30 18:26
难度开始升级一点，求满足下式的整数x和y=？

205x+93y=7
X=4249，Y=-9366代入方程验算，
205x+93y
=205*4249+93(-9366)
=871045-871038=7
由于205和93自身不是质数，所以要计算多步。

发表于 2021-5-30 20:05

captzs 发表于 2021-5-30 19:52
205x+93y=7
X=4249，Y=-9366代入方程验算，
205x+93y

X和Y之间有个公因子7，所以找的数太大了。

X=-308，Y=679是合适的。

登录 · 发表于 2021-5-30 20:19

本帖最后由 xukun977 于 2021-5-30 20:22 编辑

一种比较简明的求法：

发表于 2021-5-30 20:43

本帖最后由 captzs 于 2021-5-31 15:10 编辑

xukun977 发表于 2021-5-30 20:19
一种比较简明的求法：

您这个简明法我下载后再动手试试。
如果竖式算法掌握了，就不怕数大，照步骤都可以求出一个解。例如
35479m+958n=341
m=316789， n=-11732105
35479m+958n
=11239356931-11239356590=341

登录 · 发表于 2021-6-11 20:56

如果有3个未知数，怎么求整数解？

发表于 2021-6-11 22:59

两个未知数的解法其实不简单，不同步骤的解法和推导证明也不同。任意数(可以负数)的限制是不能大于|a+b|，大于a+b则m和n可能都是正数，这个我还推导不出来。三个未知数我再摸索能否解。

登录 · 发表于 2021-6-11 23:45

20太小，很容易解，还是用60

发表于 2021-6-12 10:13

captzs 发表于 2021-6-11 23:45
20太小，很容易解，还是用60

3个未知数的解更多，上述解法是可以证明的。另一种解法也可以证明，但是多一步骤，60/19=3...余3，z=3，解5x+8y=3的方程得，x=-9，y=6，代入验算，5(-9)+8*6+19*3=60。

发表于 2021-6-12 10:23

captzs 发表于 2021-6-12 10:13
3个未知数的解更多，上述解法是可以证明的。另一种解法也可以证明，但是多一步骤，60/19=3...余3，z=3， ...

此题是特例，60/19=3...余3，要使5x+8y=3，一眼就可以看出，x=-1，y=1。但是此解法无法证明，就不能用于一般方程。

发表于 2021-6-16 22:49

民间有一算题：“桃每粒4铜钱，李每粒3铜钱，橄榄每个铜钱7粒，100铜钱买100粒，三种水果各几粒？”
用不同组合慢慢推也可用算出，但是证明答案是正确的，可就要费些工夫。几十年没办法解，最近受此方程启发，终于推导证明。

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