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一个方程解两个未知数

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xukun977|  楼主 | 2021-5-14 17:25 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 xukun977 于 2021-5-14 17:31 编辑

已知下面的方程中,m和n是整数,a与b互质,总是能求出m和n,使得下面方程成立。


40936609e411e6eb16.png

上面列举了一个数值例子,取a=325,b=116,使得方程成立的m和n是多少?


这个东东居然在电路中有用!




还是数学家会玩,两下整出来了,20秒搞定:




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captzs| | 2021-5-14 23:09 | 显示全部楼层
试玩一下。
am+bn=325m+116n=1,则
a/b=325/116≈2.8,m=5或者5的倍数,则n才是整数-5*2.8=-14。

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captzs| | 2021-5-14 23:10 | 显示全部楼层
captzs 发表于 2021-5-14 23:09
试玩一下。
am+bn=325m+116n=1,则
a/b=325/116≈2.8,m=5或者5的倍数,则n才是整数-5*2.8=-14。 ...

又如,
am+bn=9m+7n=1,则
a/b=9/7=1.28,n=-1.28*5*5=-32,m=5*5=25,验算,
9*25+7(-32)=225+(-224)=1,

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captzs| | 2021-5-29 20:39 | 显示全部楼层
    读初中时问老师,一个方程两个未知数如何解,老师说要假设一个,求另一个,有多个解。我再问,如何假设,他说难。看了X大此竖式解题法,这几天一直玩,用了几十张草稿纸,目前进到第四步,不但可以解等于1的方程,任意数也行。

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xukun977|  楼主 | 2021-5-30 18:26 | 显示全部楼层
captzs 发表于 2021-5-29 20:39
读初中时问老师,一个方程两个未知数如何解,老师说要假设一个,求另一个,有多个解。我再问,如何假设 ...




难度开始升级一点,求满足下式的整数x和y=?

8682160b3682235cd8.png

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captzs| | 2021-5-30 19:52 | 显示全部楼层
xukun977 发表于 2021-5-30 18:26
难度开始升级一点,求满足下式的整数x和y=?

205x+93y=7
X=4249,Y=-9366代入方程验算,
205x+93y
=205*4249+93(-9366)
=871045-871038=7
由于205和93自身不是质数,所以要计算多步。

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xukun977|  楼主 | 2021-5-30 20:05 | 显示全部楼层
captzs 发表于 2021-5-30 19:52
205x+93y=7
X=4249,Y=-9366代入方程验算,
205x+93y




X和Y之间有个公因子7,所以找的数太大了。

X=-308,Y=679是合适的。

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captzs 2021-5-30 20:16 回复TA
现在主要是不知道原来鬼佬对此方程论述的什么程度,我百度,没有看到说一个方程两个未知数可以解。 
captzs 2021-5-30 20:12 回复TA
两个未知数的方程,的确有多个解。 
xukun977|  楼主 | 2021-5-30 20:19 | 显示全部楼层
本帖最后由 xukun977 于 2021-5-30 20:22 编辑


一种比较简明的求法:


8103260b382b06f86c.png

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captzs| | 2021-5-30 20:43 | 显示全部楼层
本帖最后由 captzs 于 2021-5-31 15:10 编辑
xukun977 发表于 2021-5-30 20:19
一种比较简明的求法:

您这个简明法我下载后再动手试试。
如果竖式算法掌握了,就不怕数大,照步骤都可以求出一个解。例如
35479m+958n=341   
m=316789, n=-11732105
35479m+958n
=11239356931-11239356590=341

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xukun977|  楼主 | 2021-6-11 20:56 | 显示全部楼层



如果有3个未知数,怎么求整数解?



3246360c35d543c551.png

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captzs 2021-6-11 23:04 回复TA
60太大,改为20试试 
captzs| | 2021-6-11 22:59 | 显示全部楼层
两个未知数的解法其实不简单,不同步骤的解法和推导证明也不同。任意数(可以负数)的限制是不能大于|a+b|,大于a+b则m和n可能都是正数,这个我还推导不出来。三个未知数我再摸索能否解。

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captzs| | 2021-6-11 23:45 | 显示全部楼层
20太小,很容易解,还是用60
5945560c385185be3c.png




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captzs| | 2021-6-12 10:13 | 显示全部楼层
captzs 发表于 2021-6-11 23:45
20太小,很容易解,还是用60

3个未知数的解更多,上述解法是可以证明的。另一种解法也可以证明,但是多一步骤,60/19=3...余3,z=3,解5x+8y=3的方程得,x=-9,y=6,代入验算,5(-9)+8*6+19*3=60。
  

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captzs| | 2021-6-12 10:23 | 显示全部楼层
captzs 发表于 2021-6-12 10:13
3个未知数的解更多,上述解法是可以证明的。另一种解法也可以证明,但是多一步骤,60/19=3...余3,z=3, ...

    此题是特例,60/19=3...余3,要使5x+8y=3,一眼就可以看出,x=-1,y=1。但是此解法无法证明,就不能用于一般方程。

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captzs| | 2021-6-16 22:49 | 显示全部楼层
民间有一算题:“桃每粒4铜钱,李每粒3铜钱,橄榄每个铜钱7粒,100铜钱买100粒,三种水果各几粒?”
用不同组合慢慢推也可用算出,但是证明答案是正确的,可就要费些工夫。几十年没办法解,最近受此方程启发,终于推导证明。

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