和大师聊聊代数理论

登录 · 发表于 2021-5-24 11:22

刚才看到大师要和我聊聊代数，这个内容刚好在本府跑火范围之内，搞的我兴奋异常，狼吞虎咽吃了几口，抓紧来和大师聊聊这些理论。

登录 · 发表于 2021-5-24 11:27

数学理论有个特点，就是一旦不说【人话】，工科学生，即便是研究生，也是大概率要晕，例如下面这个：

而同样的内容，同样的理解，一旦要是说【人话】，初中生也能看懂。

关于不说人话的版本，大家随便找本教材看看就知道了，都是上图这种打哑谜风格。

本贴主要换一个【说人话】的风格，只要上过几天学的，都能看懂，同时保证研究深度不减。

发表于 2021-5-24 11:35

所谓高端大气上档次
就是让大多数人一头雾水
换个方式表达又让大多数人豁然开朗

发表于 2021-5-24 13:35

说白了就是装逼

登录 · 发表于 2021-5-24 14:56

本帖最后由 xukun977 于 2021-5-24 15:07 编辑

先说这些相关数学知识，在电路理论中有什么用。

地球人都知道，对于线性时不变电路，时域中是由常系数微分方程所表征的，但是我们更习惯使用S域变换，在复频域中处理相关问题，于是这个变换就把微分方程转化为成代数方程。
所以对于初等电路理论，需要有微积分基础，所以工科院系都有高等数学课程；但是到了高等理论，习惯于在S域中处理分析，此时反而需要中学就学过的代数知识了。

虽然代数知识是初中就开始接触并学习的，但是我们并不熟悉相关内容。
例如，下面的A和B，其最大公因子是多少？？

因为A和B的二次项相同，相减就可以消去，所以得到的A-B=

所以，如果A和B有公因子的话，最多就是s-1，至少就是没有公因子。

我们在初中就学过，如果某个多项式有个s-1型的公因子，那么其系数之和必须等于0，但是上图中的A和B都不是，例如对于A，1+2-4≠0，所以s-1不是公因子
据此证明出A和B是互质的关系！

登录 · 发表于 2021-5-24 15:15

本帖最后由 xukun977 于 2021-5-24 15:21 编辑

再例如假设我们根据基尔霍夫定律，推导出个传递函数H(s)：

如何化简H（s)?

由于H（s）的分母和分子中，有个常数项+2和-2，相加就可以抵消掉，所以我们把分子和分母相加并因式化：

由于当s=0时，H（s)的分母和分子，均不为零，所以s不是H（s)的分母和分子之间公因子。

然后测试（s+1)和（s-2)，这两个都是公因子。

登录 · 发表于 2021-5-24 15:32

sss1234567 发表于 2021-5-24 13:35
说白了就是装逼

有些东西，不是说谁个想装就能装的，

例如大师这个帖子，内容抄的是数学专业教材，这种【不说人话】的教材，工科生看起来是困难的。
我也只能看懂个7成左右，但是对于工科学生来说，已经很满意了。

登录 · 发表于 2021-5-24 17:38

本帖最后由 xukun977 于 2021-5-24 17:53 编辑

现在聊一聊最简单，也是最好懂的基本定理。

下图中大师抄书这些，说的太粗糙了，粗糙的没法看。

第一个基本定理：对于两个关于x的多项式A和B，如果A和B是互质的，那么一定可以找到两个整函数M和N，使得

MA+NB＝1

这个定理，太强大，太牛叉了，以至于不得不证明一下，以便加深理解。

对于两个关于x的多项式A和B，如果A的次数高于B，那么做除法运算，商q，余数为R1
如果所得的余数不是常数，继续除法，B除以R1，商为q1，余数为R2.

次数任意，不失一般性，可以随便假设某一次，例如第三次除法，终于使得余数为常数了。

然后移项，得到下图所示的红字：

针对红字部分，我们从后往前反推，先把第二个表达式代入最后一个表达式：

再把第一个表达式代入上面所得的结果中：

然后方程两边同时除以C，然后把括号中的一堆东西分别用M和N表示：

我们就证明出了基本定理：若A互质于B，则存在整函数M和N，使得MA+NB=1

登录 · 发表于 2021-5-24 17:58

反复使用上面的基本定理，很容易证明出：

若A互质于函数B、C、D。。。。。则A也互质于BCD。。。

把上面关于函数的结论，应用于特殊情形---整数，结论同样成立。
例如如果两个整数a和b互质，则存在整数m和n，使得：

登录 · 发表于 2021-5-24 18:14

上面已经说了，在初级电路理论中，微积分知识用的多一些
但是到了高等模拟电路理论中，本贴所说的代数知识用的非常多，可谓家常便饭，而微积分知识就用的非常少了。

例如随处可见的：

登录 · 发表于 2021-5-24 18:15

xukun977 发表于 2021-5-24 17:58
反复使用上面的基本定理，很容易证明出：

若A互质于函数B、C、D。。。。。则A也互质于BCD。。。

1

登录 · 发表于 2021-5-24 18:20

captzs 发表于 2021-5-24 18:15
1

2

发表于 2021-5-25 08:52

越看越懵，以前高数还是不错的，这个完全不明白

发表于 2021-5-25 10:49

captzs 发表于 2021-5-24 18:15
1

  X大此代数题，给我玩了好几天。虽然不知道标准答案，但是管中窥豹也有不少乐趣。

有的一步就结束，但是由于数小，可以解，例如
7m+3n=1，    7m+2n=1，
3|7|2 n       2|7|3 n
   1 m                1 m

  7*1+3(-2)=1， 7*1+2(-3)=1

登录 · 发表于 2021-5-25 10:51

中科大之类的重点大学，和其它普通大学，重要区别之一，就是人家强调数理功底，这个是决定学术上能走多远的决定性因素之一。

【当然了，我们这里说的成功与否，不是说赚钱多少的问题，如果按照玛尼的多少计算，马云马化腾之和，可以胜过全中国的院士总和】

我们平常可能有个错觉，感觉中国的学生考试厉害，在国际上经常拿奖，但实际上，欧美学生的数理功底，比我们不知强多少倍。

举个最简单的例子，关于电路理论，尤其是信号与系统科目必学的部分分式展开式，国内的就是**这个结论:

但是，为何如此，就不知道了。

登录 · 发表于 2021-5-25 11:00

本帖最后由 xukun977 于 2021-5-25 11:08 编辑

国内强调死记硬背，国外强调理解性**，重点不一样。

关于部分分式，人家先给出定理：两个真分式的和与差，仍旧是真分式：

这个很容易理解，因为A/B是真分式，所以A的次数低于B，分子分母同乘以相同的D，得到AD的次数低于BD；同理可证，BC的次数低于BD。
所以结果的分子次数AD±BC的次数低于BD，所以结果仍为真分式。

人家又根据这个定理，推出第二个定理：如果两个整函数和真分式之和是恒等的，那么对应的整函数和真分数分别对应相等。

根据已知条件，有下面的恒等式：

根据上面的定理可知，两个整函数或真分式之差，分别是整函数（或者等于0）和真分式（或者等于0）

又因为整函数不可能恒等于真分式，所以两者只能是等于0，所以I-I‘=0，即使I=I’

人家根据这个定理，又证明出对于真分式A/PQ，如果P互质于Q，那么可以分解成两个真分式之和，即：

注意到这种分解有个限制条件，P和Q互质，如果分母是Q^2，那么就不能根据这个定理分解为下式了：

登录 · 发表于 2021-5-25 11:07

类似的复杂的数按照14楼依样画葫芦去解。

发表于 2021-5-25 18:05

本帖最后由雪山飞狐D 于 2021-5-25 18:12 编辑

xukun977 发表于 2021-5-25 11:00
国内强调死记硬背，国外强调理解性**，重点不一样。

的确，带二次的分解没有详细讲原理，直接讲公式，很容易搞混乱，比如第二个式子会出现假设(ax+b)/Q, 当初学得有点雾水，原因其实就是对角要保证存在二次，以防止一边的二次出现零，结果二次消失，这个是我自己瞎想的，仅作**用还有留数法讲了原理，求导降次，逐级分解

和大师聊聊代数理论

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