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[电路/定理] T型网络快速求解传递函数的方法

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kk的回忆|  楼主 | 2021-7-14 20:43 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 kk的回忆 于 2021-7-15 09:41 编辑

#申请原创#
@21小跑堂
传递函数在电路分析中的应用必不可少,用于分析和调整系统的稳定性。对于一般的同相反相放大电路,传递函数比较简单,通过简单的KCL原理就能得到,这里不做赘叙。但是对于T型反馈网络,用较小的阻值就可以得到较大的放大倍数,在这种电路应用KCLKVL,节点法等方式求解传递函数,计算过程就会显得比较臃肿和麻烦。以下的内容是参考@xukun977的快速求解法,而且具有很强的通解性,在不同的网络中都可以得到应用。下面就是T型网络的典型应用,在高灵敏度的场合不会要求很大的电阻,T型网络可以实现高灵敏度而无需不切实际大的电阻。
9017460eeda6969513.png
在这里先使用和其他帖子不一样的地方,输入信号用电流源。也用类似的节点法写出传递函数,
1.运放同相端接地,所以V+=V-=0
2.在节点V1使用KCL,将电流相加:
-V1/R -V1/R1 +(V0-V1)/R2=0
3.由于V-=0,所以输入电流I流过R就是V1,因此V1=-R*I
利用以上关系联立求解:V0=-k*R*I
其中K=1+R2/R1 +R2/R,因此要得到一个大点的放大倍数因子,选择合适的R阻值就可以实现的。
这样的求解是课本习题的标准做法,本身也没有什么问题,但是就是做起来稍微显得麻烦而已。
现在使用快速求解法得到T型网络的传递函数,先拿出结论,
7265760eeda8171c92.png
5685760eeda8660879.png
先对这个公式的几个参数做一个解释,
第一步,Av是便是没有R3的增益。看做R3的阻抗无穷大。将R3看作开路,这个就是基本的反相放大电路了。
显然,此时Av=-R1+R2/R4
第二步,那么Rvo0的含义,就是令输出为零-null,计算从R3看进去的阻抗,此时电路可以等效为下图:
关于nullator,维基百科给出了解释,就直接贴过来的。
8059560ef90744a63e.png
ZR3=VR3/IR3
6577360ef922099ecd.png
由于此时电路比较简单,使用KCL方便的,IR3=VR3/R2 + VR3/R1, 可以快速得到阻抗是R1R2的并联,ZR3=R1*R2/(R1+R2);
第三步,那么Rvin0的含义,就是将输入短路到GND,计算从R3看进去的阻抗,此时电路可以等效为下图:
ZR3=VR3/IR3
5740460eedaa24ea39.png
运放的虚短虚短可知V+=V-=0I+=I-=0,由于Vin等于0,所以流过R4的电流也是0,根据KCL可知,流过R1的电流也是0。再进一步就可以得到R1两端的电压是0,所以图中1点的电位是0,那么VR3=V1=0,这样从R3看进去的输入阻抗就是0了。
现在公式所有参数都求解出来了,只需要将得到的数据代入,就可以得到传递函数的表达式了:
1804960eedaac7f0a7.png
在这里我写了很多,实际应用过程中,根本不需要怎么计算,就可以快速的得到公式中各个参数,比起传统的KCL,节点法计算传递函数,这个要简单方便很多的。
下面再用另外一个例子来说明,用快速计算法求解传函的方便性。这个电路图计算传递函数,要用节点法的话,估计要列举很多公式。当然最后也是能解出来的。
3962160eedab647d9d.png
现在使用快速求解法,计算传递函数表达式。
第一步,Av是计算C1开路情况下的阻抗,很显然就是普通的并联分压电路,先将R1R3串联再和R2并联,随后和R5分压得到输出电压、
9112660eedabf86301.png
第二步,令输出Vo为零-null,计算C1看出去的阻抗,Zc1=R4+VT/IT,得到下面示意图,
其中IT=I1+I2,根据nullator的定义可知,V0=0,I0=0,显然所以流过R5的电流是0,那么I1=VT/R3,流过R2的电流也是I1,所以1点的电位V1=-I1*R2= -[VT/R3]*R2,此时V1也是等于Vin的。为了统一计算方便,下文就不再用Vin表示了。
那么I2=(VT-V1)/R1, IT=I1+I2
1053260ef90d65e1dd.png
通过以上两个等式,可以联立求解,得到VTIT的关系,从而可以得到阻抗。
6420260eedad41bf59.png
经过简单化简,就能得到在C1+R4看出去的阻抗
9704360eedadbae9f9.png
最后从C1看出去的阻抗Zc1=R4+Z;
第三步,将输出Vin短路,计算C1看出去的阻抗,Zc1=R4+VT/IT,得到下面示意图,这个图计算Zc1就比较方便了,就是几个电阻的串并联方式,这里就不展开了,可以很快速的得到阻抗是R4+R1//[R3+(R1//R5)].
6436260eedae62abf9.png
现在公式中的所有参数都计算出来了,只要讲数据带入就能得到最后的传递函数表达式:
4636460eedaef1aa88.png
182960eedaf26f8cb.png
最后公式看起来稍微有些复杂,但是通过软件化简,得到的结果就简单了。实际表达式复杂也从一方面反应了,要是用节点法得到这个表示式会更加麻烦的。这个帖子主要是解释T型网络的快速求解法,所以最好表达式是什么样就是什么样,不用刻意追求一个极简 表达式。
用两个例子应该是清楚自然的介绍了在复杂电路网络下求解传递函数的方法。各位网友可以尝试用两种方法计算传递函数,看哪一种方法更加方便快捷。
如果想理解这个快速求解的来源,实际是EET原理的举例说明,详细内容可在IEEE上面搜索有相应的论文介绍,也可以去B站看原理的介绍,这里推荐视频查看[size=14.6667px]https://www.bilibili.com/video/BV1Xv411J7sw?from=search&seid=13348611392296375327





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修理Y的| | 2021-7-14 22:05 | 显示全部楼层
EET可以直接得到零极点标准形式的传输函数,这是最有用的。
其实对于大多电路 ,用基尔霍夫列节点或网孔方程原理上是很容易的,但是难点不在列方程,而是在于求解方程的代数运算可能很麻烦,当电路复杂了根本不适合手算。
并且就算解出来方程,往往也不能一下得到含有零极点信息的标准形式的表达式,所以又要费劲运算转换成标准形式的表达式,这样才能得到最有用的设计信息。而EET理论上可以直接得到标准表达式。

不过对于第一个T型反相器网络,我发现最简单的方法不是T型到PAI型网络等效,不是输出戴文宁等效,也不是EET。

而是直接看出存在并联电阻分流关系,只要反着使用并联分流法则一眼可以看出答案:
203726um372k1k01ya2d13.png.thumb.png


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HWM| | 2021-7-15 07:47 | 显示全部楼层
这是错的。

4F043B85-F1BC-4132-AC57-51388E8F9BA6.png

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HWM| | 2021-7-15 07:48 | 显示全部楼层
此外,这也无所谓“原创”可言。

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king5555 2021-7-15 08:11 回复TA
Choma表示方法和Blackman定理”,哪本书有描述,可否介绍。 
xukun977| | 2021-7-15 08:17 | 显示全部楼层



我给出的EET理论推导过程,与原来作者,以及波特他老人家相关的推导,都是不同的。
比对一下就知道了。

推导过程中80%的内容都和原理论提出者不相同,我认为这就是原创!

所以倘若有杠精不服,你去百度搜索,只要能找到相关文章或者书籍,其推导过程和我的推导过程,有8成左右是重合的,我就撤回原创的标题。
倘若找不到,就不要瞎BB了,我没时间和你打最跑,我们只用证据说话。



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xukun977| | 2021-7-15 08:22 | 显示全部楼层


我们才到某站玩了10来天,粉丝数超过了我在本坛10年的粉丝之和的2倍:



1490060ef7f04618fc.png



10天顶10年,这是什么概念?
更关键的是我们是谦虚低调的去玩的,没有自报家门,不说学历和学校,没有吹牛说自己是高级公司的高级设计师。
一点牛X都没吹,有这个成绩是可以的了。




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xukun977| | 2021-7-15 08:32 | 显示全部楼层




现在的年轻人,可能不知道在中国,吹牛能给你带来多大的收益
吹与不吹,结果可能是一个天上,一个地下的区别。


一个最现实的例子,就是如果H法师不吹牛说自己是复旦大学博导教授,2个坛主就不可能亲自把他打造成本版面第二名的专家。
你们知道第二名有多难吗??你们去看看口才、人气和学识远超H法师的大蚂蚁,他才排多少名??




你们再去看看现在的网红模电大师,如果这些人不说自己是知名公司的高级设计工程师、专家或设计经理,他们有可能有现在的知名度吗???


吹与不吹,结果差别太大了,大到一个是无穷小,一个是无穷大。

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xukun977| | 2021-7-15 08:49 | 显示全部楼层
本帖最后由 xukun977 于 2021-7-15 09:07 编辑







关于零响应,确实不是直接对地短路,我在视频中提到过,但是只说了一遍,看视频不仔细就跳过去了。




但是针对板凳楼层的那个电路图,以及要计算的量,这个零响应是可以直接对地短路的,没毛病

可能有毛病的是这个电路图:

4890160ef84c94e0cd.png


但是楼主的计算过程全部是正确的,把图片中【将输出Vo短路】,改成【令Vo为零----null】即可,然后解释一下什么是null即可。


楼主参考下图,区分一下短路与null之间的相同点与不同点。顺便看一下开路与任意子之间的不同。


7007560ef898d228e4.png


只需把短路修改成null,整篇文章就没什么毛病了,小跑堂估计能给你评个高分,但是如果不识货,那就没招了。





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kk的回忆|  楼主 | 2021-7-15 09:38 | 显示全部楼层
xukun977 发表于 2021-7-15 08:49
关于零响应,确实不是直接对地短路,我在视频中提到过,但是只说了一遍,看视频不仔细就跳过去了。

...

谢谢徐老师的指正,已经修改过来了,还是对基础原理理解的不够到位。

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修理Y的| | 2021-7-15 17:01 | 显示全部楼层
大师视频里讲得还是很清楚,null响应就像运放输入端虚短,虚段一样,和直接短路可能不等效,短路的电流可以不为0的。
这个null是测试信号和原来输入信号叠加原理的产生的0响应。

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