本帖最后由 qbwww 于 2022-6-24 19:13 编辑
传感器的标定
在工控行业，我们会使用检测各种物理量的不同传感器；
这些传感器也有不同的输出接口，有些是0-10V/5V电压，4-20mA电流的模拟量输出；
有些是通过RS485总线的MODBUS协议的数字量输出；
有些传感器通过数字量输出的数据就已经是真实物理量的数值，与其对接的控制器读到之后可直接当作物理量使用；
而传感器输出的模块量，由与其对接的控制器通过A/D转换成数字量之后，还需要进于由A/D转换数传换算成真实物理量数值，这一从测量传转换为真实值的过程我们称之为标定。
假设A/D值为x，真实值为y，存在函数关系式y=f(x)；
标定就是根据A/D和从标准测量仪器读到的数值找到该函数关系式；
如果该函数关系式为一次函数，即真实值y=k*x+b(k为斜率、b为截距)，
则称模拟量或者对应的A/D值与真实值呈线性关系，如果我们在二维坐标上绘制函数关系图，可以看到x-y的曲线是一条直线；
否则，称模拟量或者对应的A/D值与真实值呈非线性关系；
为了简化标定步骤，我们希望传感器在整个量程内都是呈线性关系；
这样，转换得到的A/D值通过一组k、b数值，按照k*A/D值+b就可以得到物理量的测量值，而且该测量与物理量的真实值相比，精度能达到标称的要求；
但是往往可能在某一些数值范围内，转换得到的测量值与真实值存在较大的偏差；
线性度的衡量
为了衡量传感器的输出是否线性，我们需要引入一些数学公式；
需要使用最小二乘法、方差、协方差、相关系数等数学公式进行评估；
假设y与x是线性的关系，则y可以和x表示为y=a*x+b。
对于物理量的标定，x为传感器输出的模拟量数值，y为标准仪器测得的真实值。
对于每一组的xi,yi，则都可以求出经过标定之后的测量值与真实值之间的误差为：
ei=a*xi+b-yi， 而最准确的a,b取值对应的所有测量值的误差的平方和最小。
记有N组测量，
， 为了使e最小，需要有e以a,b为自变量的梯度为0，即：
梯度为0
求得：
a,b求值公式
上式即为最小二乘法公式；
式中x的平均值
,y的平均值
，x、y的方差分别为：
方差
x,y的协方差为：
协方差
定义相关系数：
相关系数
将上述定义代入到min(e)，得到：
。 从上面推导的公式可以看出来,
当r=0时,min(e)最大,可以说y完全不能用a*x+b表示,所以说完全不相关,
当r^2=1时,min(e)为零,可以说y完全可以用a*x+b表示,所以说完全相关.
当r<0时,a<0,所以就叫负相关.
当r>0时,a>0,所以就叫正相关.
可以相关系数不仅与a有关,而且与b也有关系。
一个示例
某传感器得到的测量值和真实值
采用最小二乘法公式，算出a=1.164, b=-0.05197；
相关系数r为0.99986，与1相差４个数量级，是一个线性度非常好的传感器；
另外，通过excel的函数slope,intercept可以采用最小二乘法算出a,b；
通过函数correl可以算出相关系数；
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