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为了将PWM信号转成直流，需要利用低通滤波器滤除PWM信号中的高次谐波信号。 多阶RC低通滤波是一种比较常用的方法，如下图的二阶RC滤波电路： ![]() 用于PWM转直流的二阶RC滤波电路
拉普拉斯变换单位阶跃信号定义为： ![]() 单位阶跃信号
其拉普拉斯变换定义为： ![]() 单位阶跃信号的拉普拉斯变换
如果PWM信号的高电平为VH，当输出高电平时，输出信号的拉普拉斯变换为： 电容C3，C4在频域下的阻抗分别为 ![]() 以及 ![]() ,得到频域下的等效电路和参数： ![]() 频率下的电路和参数
Octave符号运算当输入信号 ![]() 时，根据频域下的电路，可以计算出电容C4两端的电压。 涉及到分式多项式的运算，运算量大，容易算错。 可以使用Octave的符号运算快速得到结果。 Symbolic符号运算包需要用到Python的SymPy库。 在Octave的命令行窗口，运行pkg install -forge symbolic，下载symbolic符号运算包， 再运行pkg load symbolic，加载symbolic符号运算包。 运行以下脚本： syms R3 R4 C3 C4 s VHZC4=1/(C4*s);%电容C4的阻抗ZC3=1/(C3*s);%电容C3的阻抗Z1=R4+ZC4;%Z1为R4与C4串联Z2=ZC3*Z1/(ZC3+Z1);%Z2为C3与Z1并联Vo=VH/s*Z2/(Z2+R3)*ZC4/Z1;%C4两端的电压为Z2与R3分压之后，再由C4与R4分压simplify(Vo)%化简符号表达式 ![]() Octave符号运行过程
得到电容C4两端电压Vo(s)为： ![]() （式1）假设 ![]() 分别为方程 ![]() 的两个根，则根据韦达定理，有： 而 ![]() 可以表示为： 对于形如 ![]() 的多项式， 可以转换为： 左右两边同时乘以s,得到， 在上式中，令s=0，得到： 左右两边同时乘以 ![]() 之后，令 ![]() ,得到： 同样得到， 所以， 根据拉普拉斯的逆变换， ![]() 常见的拉普拉斯变换对
得到，C4两端的电压在时域的表达式为： ![]() （式2）当R3=R4=10kΩ，C3=C4=1uF时， ![]() 分别是以下方程的两个根，![]() 的两个根，根据求根公式，得到, ![]() 的两个根，假设 ![]() ， 当PWM的频率为800Hz时，占空比为100%时，充电的最长时间为1.25ms， 此时， ![]() 最大为-38.2*1.25ms=-0.04775<1， 而 ![]() 最大为-261.8*1.25ms=-0.32725<1， ![]() 常见函数的泰勒公式展开
将函数 ![]() ， ![]() 用泰勒公式展开，并保留至第二项； 得到： ![]() ，![]() ，代入式2，得到： ![]() （式3）当考虑PWM输出一段时间之后，PWM在切换到高电平的瞬间，电容C4已经有一定的电压U0，则式1应该加到电容C4的初始电压，再经过拉普拉斯逆变换，得到， ![]() --对于电容初始电压不为0的情况，此处分析有误，在另一篇文章的再做详细分析。![]() 充电波形
当高电平为5V，占空比为50%时，纹波大小为：
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