什么是 PID？
我们有上篇文章内容的基础，现在从下面三个方面去进行扩展
P（Proportional）比例项
：对“当前误差”做出反应；
I（Integral）积分项
：对“历史误差”做累积，消除稳态误差；
D（Derivative）微分项
：预测“误差变化趋势”，防止系统超调、振荡。
控制器的输出由这三部分叠加而成：
e(t) 是当前误差（设定值 - 实际值）
Kp, Ki, Kd 是比例、积分、微分系数
比例项（P）：反应越快，误差越小？
比例项是最直观的一项，它的输出和误差成正比
优点：
快速响应，提升系统速度；
简单易调。
缺点：
无法消除稳态误差
Kp 过大易导致系统震荡甚至失稳。
稳态误差的计算（阶跃输入）：
当系统稳定后，输出值 y∞ 和设定值 r 之间的差就是 稳态误差：
说明：即使 Kp 很大，稳态误差仍然存在，想完全消除？那就需要积分项！
积分项（I）：消除稳态误差的关键
积分项可以让误差“累加起来”，逼近目标值
作用：
消除稳态误差；
增加系统类型，提升精度。
风险：
积分过快会导致过冲，甚至“积分风暴”（windup）；
响应变慢。
如何防止积分风up？
积分限幅
：限制积分项累加的最大值；
反积分（Anti-Windup）
：控制器输出饱和时，停止或回退积分。
微分项（D）：抑制超调、让系统更稳
微分项相当于“预测未来”，对误差变化进行响应
作用：
快速响应误差变化；
抑制系统震荡和超调。
风险：
对噪声非常敏感，必须加滤波。
实验验证（你可能看到这样的曲线）：
这说明微分项对系统稳定性有显著提升。
PID 调参的推荐流程（手动调优）
调 PID 就像调音一样，需要“一步一步来”：
初始设定：
Kp = 初始值；Ki = 0；Kd = 0；
运行本项目
先调 P：
缓慢增加 Kp；
直到系统反应不再迟钝，但振荡不明显；
记录此时的稳态误差。
加入 I：
缓慢增加 Ki（或减小积分时间 Ti）；
直到系统可以消除稳态误差；
注意观察是否“过冲”过大。
最后加 D：
缓慢增加 Kd，抑制震荡和超调；
注意不要放大噪声。
微调：
在响应速度、稳态误差和系统稳定性之间找到平衡。
离散 PID 控制器
/* pid.c - 简单且实用的 PID 控制器实现
浮点版本，适合 STM32/Arduino 等有浮点的 MCU。
*/
#include <stdint.h>
typedef struct {
float Kp;
float Ki; // 注意：Ki 已包含采样时间缩放（或在 update 中乘 Ts）
float Kd;
float Ts; // 采样周期（秒）
float out_min; // 输出限幅下界
float out_max; // 输出限幅上界
// 内部状态
float integrator;
float prev_error;
float prev_measurement;
float differentiator; // 用于滤波的微分项状态
float tau; // 微分滤波时间常数（tau >= 0）
} PID_t;
/* 初始化 PID */
void pid_init(PID_t *pid, float Kp, float Ki, float Kd, float Ts, float out_min, float out_max, float tau){
pid->Kp = Kp;
pid->Ki = Ki;
pid->Kd = Kd;
pid->Ts = Ts;
pid->out_min = out_min;
pid->out_max = out_max;
pid->integrator = 0.0f;
pid->prev_error = 0.0f;
pid->prev_measurement = 0.0f;
pid->differentiator = 0.0f;
pid->tau = tau; // 推荐 tau 在 0.01*Ts 到 10*Ts 之间尝试
}
/* 限幅辅助 */
static float clampf(float v, float lo, float hi){
if(v < lo) return lo;
if(v > hi) return hi;
return v;
}
/* PID 核心更新：传入设定值和测量值，返回控制量 */
float pid_update(PID_t *pid, float setpoint, float measurement){
float error = setpoint - measurement;
// 比例项
float P = pid->Kp * error;
// 积分项（矩形积分）
pid->integrator += 0.5f * pid->Ki * pid->Ts * (error + pid->prev_error);
// 积分防风（限制积分值，避免积分累积过大）
// 可将积分范围设为输出范围的一部分，或单独配置
float integ_min = pid->out_min;
float integ_max = pid->out_max;
pid->integrator = clampf(pid->integrator, integ_min, integ_max);
float I = pid->integrator;
// 微分项（使用测量值微分 + 一阶低通滤波，减少噪声放大）
// differentiator 状态使用滤波器： D = ( -Kd * (measurement - prev_measurement) * (1/Ts) ) filtered
// 使用标准形式： differentiator = (2*tau - Ts)/(2*tau + Ts) * differentiator_prev
// - 2*Kd/(2*tau + Ts) * (measurement - prev_measurement)
if(pid->tau <= 0.0f){
// 没有滤波，简单差分
pid->differentiator = pid->Kd * (error - pid->prev_error) / pid->Ts;
} else {
float alpha = (2.0f * pid->tau - pid->Ts) / (2.0f * pid->tau + pid->Ts);
float diff_measure = (measurement - pid->prev_measurement) / pid->Ts;
// 用 measurement 上的微分能减少 setpoint step 导致的 D 爆炸（常见做法）
pid->differentiator = alpha * pid->differentiator - (2.0f * pid->Kd / (2.0f * pid->tau + pid->Ts)) * diff_measure;
}
float D = pid->differentiator;
// 合并输出并限幅
float output = P + I + D;
float output_clamped = clampf(output, pid->out_min, pid->out_max);
// 抗积分风（simple back-calculation）：如果输出被限幅，减小积分（选项）
// 若输出 被限幅 且 与未限幅输出有差异，则按差异调整积分（更稳定）
// 下面是一个简单的实现：当限幅时，撤销刚才的积分累加量
if(output != output_clamped){
// 取消本次积分（另一种方法是使用反向补偿 gain）
pid->integrator -= 0.5f * pid->Ki * pid->Ts * (error + pid->prev_error);
I = pid->integrator;
// 可考虑更复杂的反向补偿法： integrator += (output_clamped - output) * K_aw
}
// 更新历史值
pid->prev_error = error;
pid->prev_measurement = measurement;
return output_clamped;
}
运行本项目
总结：记住这几点就能用好 PID
P 控制当前误差
，太大易振荡；
I 消除长期误差
，但可能带来超调；
D 抑制振荡
，但要防噪声；
调参顺序：P → I → D；
实验评估：看响应曲线和稳态误差；
实现时注意 限幅、防风up 和滤波。
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