Loring W. Tu 的 An Introduction to Manifolds 是一本面向高年级本科生和研究生的微分流形入门教材。它的核心目标是把欧氏空间中的微积分系统地推广到流形上，并最终建立 de Rham 上同调这一拓扑不变量。全书脉络清晰，大致可分为以下几个部分。
1. 欧氏空间中的预备知识
本书没有直接从抽象流形开始，而是先在欧氏空间中引入关键工具：
- 将切向量定义为导子，而不是单纯的箭头，为后续流形上切空间的抽象定义做准备。
- 引入外代数与多重余向量，发展欧氏空间中的微分形式。
- 在欧氏空间中定义外微分、楔积等运算，使读者在熟悉的环境里先掌握局部计算。
这一部分的目的是：先在坐标环境中建立直觉和计算能力，再过渡到流形。
2. 流形、光滑映射与切空间
这是全书的核心基础部分：
- 定义光滑流形、图卡、图册与光滑结构。
- 讨论光滑映射、秩定理、子流形、浸入与嵌入。
- 定义流形上的切空间，并给出几种等价观点：导子、曲线等价类、坐标变换下的切向量。
- 引入切丛、向量场、李括号等概念。
- 讨论单位分解，这是从局部构造过渡到整体对象的重要技术工具。
这一部分建立了流形上的“微分学”。
3. 李群与李代数
在流形和切空间的基础上，书中介绍：
- 李群作为带有光滑群结构的流形。
- 左不变向量场与李代数。
- 指数映射及其基本性质。
- 一些典型例子，如一般线性群、正交群等。
这部分展示了流形语言与代数结构的自然结合。
4. 微分形式与外微分
这是将欧氏空间中的微分形式推广到流形上的部分：
- 定义流形上的微分 1-形式和微分 k-形式。
- 引入外微分、楔积、拉回等运算。
- 讨论李导数、内乘以及它们与外微分的 Cartan 公式。
- 介绍定向、带边流形以及流形上的单位分解。
这一部分建立了流形上的“积分学”所需的形式语言。
5. 流形上的积分与 Stokes 定理
- 在定向流形上定义微分形式的积分。
- 利用单位分解把整体积分归结为欧氏空间中的局部积分。
- 证明流形版本的 Stokes 定理，统一了格林公式、高斯散度定理和经典 Stokes 定理。
这部分是全书微积分推广的高潮。
6. de Rham 上同调
最后，书中用微分形式构造拓扑不变量：
- 定义闭形式、恰当形式和 de Rham 上同调群。
- 证明 de Rham 上同调具有同伦不变性。
- 建立 Mayer–Vietoris 序列，作为计算上同调的主要工具。
- 计算球面、环面、射影空间等常见空间的上同调。
- 介绍 Poincaré 对偶等进一步结论。
这部分展示了微分形式不仅能做微积分，还能反映流形的整体拓扑性质。
总体脉络
全书遵循一条主线：
欧氏空间中的局部微积分 → 流形上的微分结构 → 微分形式与积分 → de Rham 上同调
也就是说，它从最熟悉、最具体的欧氏空间出发，逐步抽象到流形，最终把微积分工具转化为研究流形拓扑性质的有力手段。书中强调几何直觉与具体计算并重，配有大量例子和习题，非常适合作为微分几何、微分拓扑、李群和纤维丛等后续课程的入门基础。
