周期图谱校正FFT

1万 · 2014-6-29 23:38

　　引言

　　基于FFT的频谱分析方法可以从含有噪声的信号中提取有用的信息，在仪器仪表的数据处理中具有重要的应用价值。为了保证频谱分析的精度，往往进行多点的FFT运算，例如，1024点、2048点等，这样运算量大、所占内存也大，只有采用DSP(数字信号处理器)才能实现实时的处理。目前，在工业现场普遍使用的两线制、低功耗自动化仪表，由于仪表本身消耗电流必须控制在4 mA之内，所以无法采用DSP等运算能力强的芯片，只能采用低功耗单片机；而低功耗单片机的运算速度和内存容量都很有限，所以，至今未见用其进行多点数FFT运算的报道。为了能够用低功耗单片机实时做FFT运算，以提高自动化仪表信息处理的能力，我们用汇编语言编制FFT程序，在程序中用定点数运算(以下简称定点FFT)，采取措施防止数据溢出，保证计算精度，合理分配内存。测试结果表明，我们编制的程序在MSP430F、1611单片机上，完成一次2048点的基于FFT的频谱分析和校正只需要500 ms，精度也达到要求，可以用于以低功耗单片机为核心的仪表中，实时完成信号处理任务。

　　1 定点运算

　　1．1 数据表示

　　在MSP430中使用C语言实现FFT运算，其乘法和加法运算都是默认使用浮点实现的。于MSP430属于定点单片机，因此浮点运算必须由大量的定点指令模拟，这将耗费大量的时间。因此我们针对MSP430的特点，使用汇编语言编制FFT程序，在程序中用定点数运算，并将数据统一使用16位定点数表示。16位定点数中最高位(左边的第1位)作为符号位，剩下的15位用于存放数值。数据格式如图1所示。

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　　1．2 数据定标

　　定点单片机参与数值运算的数都是16位的整型数，但是运算过程中的数不一定都是整数。那么，定点计算过程中如何处理小数呢?这其中的关键就是由程序员来确定一个数的小数点处于16位中的哪一位。这就是数的定标。

　　通过设定小数点在16位数中的不同位置，就可以表示不同大小和不同精度的小数了。数的定标有Q表示法和S表示法两种。表1列出了一个16位数的16种Q表示、S表示及它们所能表示的十进制数值范围。

1万 · 2014-6-29 23:39

　　从表1中可以看出，同样一个16位数，若小数点设定的位置不同，它所表示的数也就不同。例如，十六进制数2000H=8192，用Q0表示；十六进制数2000H=O．25，用Q15表示；但对于定点运算来说，处理方法是完全相同的。下面简要介绍如何使用定点数乘法运算模拟浮点数乘法。

　　设浮点乘法运算的表达式为：float x，y，z；z=xy。假设经过统计(这里“统计”的意思是所有计算中数据范围都在定标范围内)后x的定标值为Qx，y的定标值为Qy，乘积z的定标值为Qz，则z=xy；zq×2-Qz=xq×yq×2-(Qx+Qy)；zq=(xqyq)2Qz-(Qx+Qy)。所以，定点表示的乘法为：

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　　1．3 FFT计算过程中的数据定标

　　为了在以MSP43F1611为处理器的仪表系统上进行基于FFT的功率谱估计，必须先由MSP430F1611的ADC进行采样，而ADC采样得到的数据需要经过定标后才能进行定点计算。定标过程为：ADC的采样电压范围为0～2．5 V，因此，采样过程实际上就是将信号电压除以2．5进行归一化，使得采样得到的数据范围为O～1 V，此时数据就可用Q15表示，即将ADC的12位采样结果寄存器中的数据右移4位保存起来，维持12位精度，转换为Q15定点数表示。由于FFT运算过程中，蝶形输出相对蝶形输入数据被放大了3倍，因此蝶形输出数据范围为一3～+3 V。此时数据如果仍然使用Q15表示，就会发生溢出，故改用Q13表示数据，即将12位ADC数据右移1位。实际上经过处理后，ADC数据精度没有变化，但使用Q13表示数据比用Q12表示数据，其蝶形输出的数据精度高。这是由于定点计算时需要对蝶形输出右移以防止溢出，而使用Q13表示数据比使用Q12表示数据少右移了1位，因此多了1位有效数据。FFT运算过程中使用Q13表示数据，就使得加法乘法运算都可以直接使用定点指令实现，减少了很多判断处理，提高了运算速度。使用Q13表示数据，即最高位(左边的第1位)是符号位，剩下的15位表示数据的大小。表示数据大小的15位中，高2位(左边的第2位和第3位)用来表示数据中的整数部分，在计算中作为保护位；最低的13位(右边的13位)表示数据中的小数部分，如果经过某次蝶形单元运算后，最大值正好被放大3倍，此时数据就由13位扩大到15位，保证数据不会增大到16位，冲走符号位，发生溢出。运算完成后将FFT计算过程中的这一级所有结果都右移2位，就能够使得这一级计算结果的最大值仍然可用13位表示，同时也可将这一级所有蝶形运算输出的数据同时缩小，保证下级计算。表示数值大小的15位数据的数据格式如图2所示。

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　1．4 旋转因子数据定标

　　FFT运算过程使用定点计算，且使用有符号乘法，必须始终保留1位作为符号位；而旋转因子范围为-1～1，因此可定标为Q14，转换为16位定点数。其转换过程为：根据参与FFT运算的数据点数计算出旋转因子的正余弦表，然后将正余弦表乘以16384，即左移14位，最后四舍五人取整。如果使用Q15表示数据，即需要左移15位，那么正余弦表中最大值1，经过上述处理后成为-1，发生溢出。

　　2 防止溢出，保证精度

　　FFT中的蝶形运算如图3所示。设蝶形输入为：X1(k)，实部为X1(k)r，虚部为X1(k)i；X2(k)，实部为X2(k)r，虚部为X2(k)i。设蝶形输出为：X(k)，实部为X(k)，，虚部为X(k)i；X(k+N／2)，实部为X(k+N／2)r，虚部为X(k+N／2)i。则有：

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　　由式(1)和式(2)可以看出，蝶形输出的实部和虚部是由3个数相加得到的，因此数据可能会放大3倍。如果计算过程中的数据始终使用定点数表示，随着级数的增加，就会发生溢出。例如，使用16位定点数表示，其最高位(从左数第1位)为符号位，其表示的数据范围为-32 768～32 767。如果采样得到的数据最大值为4 096，经过两级计算后蝶形最大输出就可能为4096×3×3=36 864，超出了16位定点数的表示范围。

1万 · 2014-6-29 23:40

　　下面介绍保证数据计算精度的方法。

　　为了提高计算速度，系统中使用定点数法运算FFT，且使用Q13表示数据。蝶形运算中，其蝶形输出的数据的实部和虚部都使用3次加法运算，即每级蝶形运算都可能使数据扩大3倍，因此，蝶形输出的实部和虚部结果都需要右移2位(缩小4倍)以防止溢出。但随着计算级数的增加，移位将会使数据变得越来越小。例如，128点FFT，总共需要7级运算，数据最终将移位2×7=14位(缩小47=16 384倍)，因此当信号幅值不够大时，经过多级运算可能会无法分辨出主信号频率。

　　设FFT运算结果的主信号频率点的对应实部为r，虚部为i，其幅值为A(ADC的量化值)，参与运算的数据点数为N，由FFT功率谱计算的性质可得：

　　设经过定点FFT运算，也就是运算过程中有移位，则该主信号频率点的模为K，即：

1万 · 2014-6-29 23:41

　　联立式(3)和式(4)，得

　　由于功率谱估计是找出功率谱中的最大值，确定主信号的频率，根据经验，使用定点数运算FFT，当实部和虚部的模的平方K2为2时，就无法由功率谱分辨出主信号频率。由式(5)可得：

　　因此，当K2为2，N为128时，A=128×1．414=180．992=181，即当信号的幅值为18l／4 096×2．538=112 mV，就分辨不出主信号频率。考虑K2为2的极限情况，当A为724，N为512时，即给定信号幅值为724／4 096×2．538=449 mV时，就分辨不出主信号频率。

1万 · 2014-6-29 23:41

　　为了防止计算结果经过多次移位后，数据太小无法分辨主信号，系统针对定点FFT运算采取如下处理：由于FFT定点运算中，一般情况下，为了处理方便，每级蝶形运算中乘法结果都限制在-1～1范围内，即乘法运算的结果始终为小数(只有经过加法运算，数据才有可能超出-1～1范围)，因此，通过判断蝶形输出的结果，决定是否移位。当发现超出-1～1范围，就将本级的所有蝶形运算的输出结果右移2位，没有超出就不进行移位。

　　3 内存分配

　　由式(3)可知，功率谱估算时需要另外开辟一段内存空间存储功率谱结果。例如，当进行2048点基于FFT的功率谱分析时，需用1024个浮点数存放功率谱计算结果，这将占有很大一段内存。但实际运算中，每个频率点功率，只与其FFT运算结果中的对应频率点的实部、虚部有关，而与其他频率点无关。因此功率谱运算中，可采取以下步骤将存放实部的空间存放功率谱：

　　①实部、虚部数据平方计算。由于MSP430F1611内部集成了硬件乘法器，因此可将乘法器的第一操作数寄存器(OP1)、第二操作数寄存器(OP2)写入相同的数据实现平方运算。

1万 · 2014-6-29 23:41

　　②平方结果移位。平方结果需要右移13位，使用Q13表示，同时使用16位的临时变量将平方结果保存。

　　③功率谱计算结果保存。实部平方结果、虚部平方结果相加后再存人原来的实部单元。

　　经过上述步骤后，就可将原来存放实部、虚部数据的内存单元再次利用。

　　定点FFT运算过程中，还可将用来存放采集数据的内存空间，再次用作存放FFT运算过程中的实部数据，另外再开辟同等大小的内存空间，存放虚部数据。例如，对于RAM空间为10 KB的MSP430F16ll来说，使用16位定点数运算FFT，最多能够运算2 048点。因为实部、虚部结果都需4 096 KB，故共需8．192 KB，正好小于10KB；而运算4 096点FFT时，共需16．384 KB，超出10 KB。

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