FFT结果的物理意义

computer00 发表于 2008-5-15 09:52

FFT是离散傅立叶变换的快速算法，可以将一个信号变换到频域。有些信号在时域上是很难看出什么特征的，但是如 果变换到频域之后，就很容易看出特征了。这就是很多信号分析采用FFT变换的原因。另外，FFT可以将一个信号的频谱 提取出来，这在频谱分析方面也是经常用的。     虽然很多人都知道FFT是什么，可以用来做什么，怎么去做，但是却不知道FFT之后的结果是什意思、如何决定要使用 多少点来做FFT。     现在圈圈就根据实际经验来说说FFT结果的具体物理意义。一个模拟信号，经过ADC采样之后，就变成了数字信号。采样 定理告诉我们，采样频率要大于信号频率的两倍，这些我就不在此罗嗦了。     采样得到的数字信号，就可以做FFT变换了。N个采样点，经过FFT之后，就可以得到N个点的FFT结果。为了方便进行FFT 运算，通常N取2的整数次方。     假设采样频率为Fs，信号频率F，采样点数为N。那么FFT之后结果就是一个为N点的复数。每一个点就对应着一个频率 点。这个点的模值，就是该频率值下的幅度特性。具体跟原始信号的幅度有什么关系呢？假设原始信号的峰值为A，那么FFT 的结果的每个点（除了第一个点直流分量之外）的模值就是A的N/2倍。而第一个点就是直流分量，它的模值就是直流分量 的N倍。而每个点的相位呢，就是在该频率下的信号的相位。第一个点表示直流分量（即0Hz），而最后一个点N的再下一个 点（实际上这个点是不存在的，这里是假设的第N+1个点，也可以看做是将第一个点分做两半分，另一半移到最后）则表示 采样频率Fs，这中间被N-1个点平均分成N等份，每个点的频率依次增加。例如某点n所表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N。 由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到频率为为Fs/N，如果采样频率Fs为1024Hz，采样点数为1024点，则可以分辨到1Hz。 1024Hz的采样率采样1024点，刚好是1秒，也就是说，采样1秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到1Hz，如果采样2秒时 间的信号并做FFT，则结果可以分析到0.5Hz。如果要提高频率分辨力，则必须增加采样点数，也即采样时间。频率分辨率和 采样时间是倒数关系。   假设FFT之后某点n用复数a+bi表示，那么这个复数的模就是An=根号a*a+b*b，相位就是Pn=atan2(b,a)。根据以上的结果， 就可以计算出n点（n≠1，且n&lt=N/2）对应的信号的表达式为：          An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn)，即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。 对于n=1点的信号，是直流分量，幅度即为A1/N。     由于FFT结果的对称性，通常我们只使用前半部分的结果，即小于采样频率一半的结果。     好了，说了半天，看着公式也晕，下面圈圈以一个实际的信号来做说明。     假设我们有一个信号，它含有2V的直流分量，频率为50Hz、相位为-30度、幅度为3V的交流信号，以及一个频率为75Hz、 相位为90度、幅度为1.5V的交流信号。用数学表达式就是如下：         S=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)     式中cos参数为弧度，所以-30度和90度要分别换算成弧度。我们以256Hz的采样率对这个信号进行采样，总共采样256点。 按照我们上面的分析，Fn=(n-1)*Fs/N，我们可以知道，每两个点之间的间距就是1Hz，第n个点的频率就是n-1。我们的信号 有3个频率：0Hz、50Hz、75Hz，应该分别在第1个点、第51个点、第76个点上出现峰值，其它各点应该接近0。实际情况如何呢？ 我们来看看FFT的结果的模值如图所示。 <img src="https://bbs.21ic.com/upfiles/img/20093/200937141034176.gif">                       图1 FFT结果     从图中我们可以看到，在第1点、第51点、和第76点附近有比较大的值。我们分别将这三个点附近的数据拿上来细看： 1点： 512+0i 2点： -2.6195E-14 - 1.4162E-13i  3点： -2.8586E-14 - 1.1898E-13i 50点：-6.2076E-13 - 2.1713E-12i 51点：332.55 - 192i 52点：-1.6707E-12 - 1.5241E-12i 75点：-2.2199E-13 -1.0076E-12i 76点：3.4315E-12 + 192i 77点：-3.0263E-14 +7.5609E-13i         很明显，1点、51点、76点的值都比较大，它附近的点值都很小，可以认为是0，即在那些频率点上的信号幅度为0。 接着，我们来计算各点的幅度值。分别计算这三个点的模值，结果如下： 1点： 512 51点：384 76点：192     按照公式，可以计算出直流分量为：512/N=512/256=2；50Hz信号的幅度为：384/(N/2)=384/(256/2)=3；75Hz信号的 幅度为192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。可见，从频谱分析出来的幅度是正确的。     然后再来计算相位信息。直流信号没有相位可言，不用管它。先计算50Hz信号的相位，atan2(-192, 332.55)=-0.5236, 结果是弧度，换算为角度就是180*(-0.5236)/pi=-30.0001。再计算75Hz信号的相位，atan2(192, 3.4315E-12)=1.5708弧度， 换算成角度就是180*1.5708/pi=90.0002。可见，相位也是对的。根据FFT结果以及上面的分析计算，我们就可以写出信号的表达 式了，它就是我们开始提供的信号。     总结：假设采样频率为Fs，采样点数为N，做FFT之后，某一点n（n从1开始）表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N；该点的模值 除以N/2就是对应该频率下的信号的幅度（对于直流信号是除以）；该点的相位即是对应该频率下的信号的相位。相位的计算 可用函数atan2(b,a)计算。atan2(b,a)是求坐标为(a,b)点的角度值，范围从-pi到pi。要精确到xHz，则需要采样长度为1/x秒 的信号，并做FFT。要提高频率分辨率，就需要增加采样点数，这在一些实际的应用中是不现实的，需要在较短的时间内完成 分析。解决这个问题的方法有频率细分法，比较简单的方法是采样比较短时间的信号，然后在后面补充一定数量的0，使其长度 达到需要的点数，再做FFT，这在一定程度上能够提高频率分辨力。具体的频率细分法可参考相关文献。 [附录：本测试数据使用的matlab程序] close all; %先关闭所有图片 Adc=2;  %直流分量幅度 A1=3;   %频率F1信号的幅度 A2=1.5; %频率F2信号的幅度 F1=50;  %信号1频率(Hz) F2=75;  %信号2频率(Hz) Fs=256; %采样频率(Hz) P1=-30; %信号1相位(度) P2=90;  %信号相位(度) N=256;  %采样点数 t=; %采样时刻 %信号 S=Adc+A1*cos(2*pi*F1*t+pi*P1/180)+A2*cos(2*pi*F2*t+pi*P2/180); %显示原始信号 plot(S); title('原始信号'); figure; Y = fft(S,N); %做FFT变换 Ayy = (abs(Y)); %取模 plot(Ayy(1:N)); %显示原始的FFT模值结果 title('FFT 模值'); figure; Ayy=Ayy/(N/2);   %换算成实际的幅度 Ayy(1)=Ayy(1)/2; F=(-1)*Fs/N; %换算成实际的频率值 plot(F(1:N/2),Ayy(1:N/2));   %显示换算后的FFT模值结果 title('幅度-频率曲线图'); figure; Pyy=; for i="1:N/2"  Pyy(i)=phase(Y(i)); %计算相位  Pyy(i)=Pyy(i)*180/pi; %换算为角度 end; plot(F(1:N/2),Pyy(1:N/2));   %显示相位图 title('相位-频率曲线图');                           (By  computer00   @2008-05-15)

dld2 发表于 2008-5-15 10:20

顶圈圈

回头再看。

computer00 发表于 2008-5-15 10:38

FFT最后计算出来的相位，是以cos为参考的。

例如计算出来的结果如果只有实部，那么相位结果应该是0度，就是cos(wt)。 当然，相位本身是相对的，FFT计算的结果是以第一个采样点为参考点的。 至于你的相位计算方法是否正确，你可以用一个实际的、已知的信号来做测试， 然后再看你的结果是否正确。我帖中也写得很清楚了，如何去计算一个相位。

sz_kd 发表于 2008-5-15 11:14

好东西,顶

ahong007 发表于 2008-5-15 16:21

谢谢圈圈，真是好东西

程序匠人 发表于 2009-3-8 10:14

迟来的裤子

sssbang 发表于 2009-3-17 16:00

嗯不错，现在差不多都还给老师了

TI_CPIC 发表于 2009-3-17 16:03

顶，好东西

happytoday 发表于 2009-3-30 17:16

好贴要顶

luowei2651 发表于 2009-4-4 09:48

顶下

好东西，要留着看！！

cambwang 发表于 2009-4-20 21:56

顶OO

sdqdhx 发表于 2009-5-27 17:09

请教圈圈关于FFt计算的问题

读了您的大作很有收获，谢谢。    我还有一个问题不太明白，希望能指教：    对于20K的信号，我想FFT后的分辨精度为1HZ，这样要求采样率至少为40K，而采样点也要40K个，对于这样大的采样点，FFT还能计算过来了吗？我查TI的FFT资料，最常见的也就是128、256、512和1024，对于40K个点的FFT用型号为TMS320F2812的芯片还能计算的出来吗？

computer00 发表于 2009-5-31 15:48

计算是肯定可以的，就是需要耗费很多的RAM和采样及计算时

通常很少用这么多的采样点来计算（当然如果本来速度要求不高的话就无所谓了）。如果只对某些点的频率感兴趣，可以去找找FFT的细分法。

jack_shine 发表于 2010-9-27 13:36

看的人多，发表意见的少，真是一个技术好帖呀，留着先，待慢慢研究~~~:)

arthur02 发表于 2011-1-17 20:31

很不错，技术强帖

suixiaodong 发表于 2011-1-30 11:02

好帖子

caicai_ 发表于 2011-2-11 17:20

果断Mark之

lqb888 发表于 2011-2-25 16:52

技术贴就是好啊

reins515 发表于 2011-2-26 15:44

好技术，学习了，感谢楼主详细解说，拜读了

海天一色 发表于 2011-6-24 06:35

收藏了

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