[电路/定理] 电路的基尔霍夫定律和本构关系

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 楼主 | 2018-3-13 11:34 | 显示全部楼层 |阅读模式
“剖析《线性代数》”已更新到了“像空间和核空间”,具体见帖子

http://bbs.21ic.com/icview-2480964-1-1.html
 楼主 | 2018-3-13 11:37 | 显示全部楼层
这里,利用相关概念及其理论,简述一下电路变量(线性)空间内的基尔霍夫定律和本构关系。

设电路变量为[I,U](由i1,...,in,u1,...,un构成的2n维线性空间内的元素)。若没有任何约束,那么其解就是下列方程的解

    0[I,U] = 0

其中左边的“0”表示零变换,即任何元素经其变换都得零元素。由于R(0)=0,显然上述方程的解空间维数是2n,充满整个电路变量空间。

现在加入基尔霍夫定律

1)KCL

    AI = 0

2)KVL

    BU = 0

其中,A是电路的关联矩阵,B是电路的回路矩阵。可以证明

    R(A) + R(B) = n

那么由此组合的方程的解空间维数为

    2n - (R(A) + R(B)) = n

这还是个自由度极大的空间。


下面该加入线性的本构关系

    U = ZI

其中Z是阻抗矩阵,通常是一个对角阵。

由于引入了本构关系Z(R(Z)=n),使得解空间的维数变成

    2n - (R(A) + R(B) + R(Z)) = 0
 楼主 | 2018-3-13 11:39 | 显示全部楼层
上面说的是齐次线性方程,而若再引入激励源,那么就成了相应的非齐次线性方程的求解问题。
 楼主 | 2018-3-13 11:41 | 显示全部楼层
此外,如果I~U本构关系还是个非线性关系,那么其就是个非线性问题的求解。
 楼主 | 2018-3-13 11:45 | 显示全部楼层
关于,电路(线性和非线性)的相关理论,将会在“21学堂”中的相关课程论述中进一步详细讲解。感兴趣者可以关注其内容。
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