剖析《高等数学》

2万 · 2013-3-5 10:58

方向导数和偏导数

这里，简单介绍一下多元函数的导数概念，这是后续多元微积分和场论的入门基础。

与一元函数情况类似，在此先试着构造一个与多元函数F(X)关联的函数

(F(X0+X)-F(X0))/|X|

这是个多元函数，其中X0是一定点。注意，这里的分母用向量X的模替代了一元情况下的实数变量x.

显然，X=0时上述函数是个待定型。并且，在X=0点上一般不存在多重极限。如函数

y = F(X) = x(1)

其中x(1)是向量X=(x(1),x(2),...,x(n))的分量x(1)。显然，其X=0点上的多次极限与所选次序有关，即不存在多重极限。

现在，固定向量X的方向，令其模趋于零。在此前提下，若上述函数的相关极限存在，则就引入了与向量X的方向有关的导数概念——方向导数，具体定义如下

一）方向导数

对于多维欧几里得空间中的一点X，若如下极限存在

(lim[λ→0]((F(X+λE)-F(X))/λ))E

其中λ∈R，E是个单位定向量（即|E|=1）。则此极限（欧几里得空间中的一点）称为多元函数F(X)在点X且方向E上的方向导数。记为

(∂/∂e F(X))E

其中∂/∂e表示单位定向量E方向上的导数（即e理解为向量eE的数乘系数）。

二）偏导数

偏导数定义为坐标轴方向上的方向导数，是方向导数的特例。由于坐标轴的方向已经约定，所以偏导数中的单位定向量可以不写，但这不是说偏导数就没有方向。

对于定义在三维欧几里得空间上的三元函数F(X) = f(x,y,z)，相应坐标轴方向上的方向导数——偏导数，可表示如下。

∂/∂x F(X) = lim[λ→0]((F(X + λ i)-F(X))/λ) = lim[λ→0]((f(x+λ,y,z)-F(x,y,z))/λ)
∂/∂y F(X) = lim[λ→0]((F(X + λ j)-F(X))/λ) = lim[λ→0]((f(x,y+λ,z)-F(x,y,z))/λ)
∂/∂z F(X) = lim[λ→0]((F(X + λ k)-F(X))/λ) = lim[λ→0]((f(x,y,z+λ)-F(x,y,z))/λ)

其中i,j,k表示x,y,z坐标轴上相应的单位向量。

从上面偏导数的式子可以知道，所谓偏导数可以理解为固定其他自变量情况下对特定自变量的导数。如

∂/∂x f(x,y,z)

就是固定y和z对x的导数。注意，其方向是i——即x坐标轴方向。

2万 · 2013-3-5 19:30

全微分和梯度

有了偏导数概念后，就可以考察多元函数的微分——全微分。

一）全微分定义

设y=F(X)=f(x1,x2,...,xn)是n元函数，n元差分变量（向量）∆X=(∆x1,∆x2,...,∆xn)。如果存在仅与点X有关而与差分变量∆X无关的n个n元函数g1(X),g2(X),...,gn(X)，成立下式

∆y = g1(X)∆x1 + g2(X)∆x2 + ... + gn(X)∆xn + o(|∆X|)

其中∆y=F(X+∆X)-F(X)，o(|∆X|)是|∆X|的高阶无穷小量。则称n元函数F(X)在X点处可微，令差分趋于零并用微分替代且忽略高阶无穷小量得下式

dy = g1(X)dx1 + g2(X)dx2 + ... + gn(X)dxn

此为全微分。

容易看到，g1(X) = ∂/∂x1 F(X)，g2(X) = ∂/∂x2 F(X)，...，gn(X) = ∂/∂xn F(X)，代入得全微分式

dy = ∂/∂x1 F(X) dx1 + ∂/∂x2 F(X) dx2 + ... + ∂/∂xn F(X) dxn

二）微分算子（哈密尔顿算子）∇

在论述n元函数的导数时已经清楚，其导数是与方向有关的，故称方向导数。在讲述偏导数时提到，由于坐标轴的方向已经约定，作为方向导数特例的偏导数可以省略其方向（通过相关坐标轴可以找回其方向）。下面将引入一个算符——微分算子∇，其中的偏导方向（坐标轴单位向量）不再省略。

定义微分算子∇为形式

∇ = e1 ∂/∂x1 + e2 ∂/∂x2 + ... + en ∂/∂xn

其中，e1,e2,...,en是n维笛卡尔坐标系的n个坐标轴单位向量。特别地，在三维空间下有

∇ = i ∂/∂x + j ∂/∂y + k ∂/∂z

其中，i,j,k是坐标轴x,y,z的单位向量。

微分算子∇作用到多元函数F(X)的意义是

∇F(X) = e1 ∂/∂x1 F(X) + e2 ∂/∂x2 F(X) + ... + en ∂/∂xn F(X)

或

∇F(X) = i ∂/∂x F(X) + j ∂/∂y F(X) + k ∂/∂z F(X)

显然∇F(X)是个向量。

三）全微分的∇算子表示

上述全微分可表示成内积（点积）形式

dy = ∇F(X)•dX
= (e1 ∂/∂x1 + e2 ∂/∂x2 + ... + en ∂/∂xn)F(X)•(e1 dx1 + e2 dx2 + ... + en dxn)
=∂/∂x1 F(X) dx1 + ∂/∂x2 F(X) dx2 + ... + ∂/∂xn F(X) dxn

或

dy = ∇F(X)•dX
= (i ∂/∂x + j ∂/∂y + k ∂/∂z)F(X)•(i dx + j dy + k dz)
= ∂/∂x F(X) dx + ∂/∂y F(X) dy + ∂/∂z F(X) dz

四）梯度

微分算子∇作用到多元函数F(X)上的结果（向量）称为多元函数F(X)的梯度，这有点类似于一元函数下的导数（或斜率）。从全微分的内积形式

dy = ∇F(X)•dX

可知，梯度∇F(X)方向上的函数变化率最大，所以梯度也称为函数变化率最大方向上的方向导数。

2万 · 2013-3-11 21:59

重积分、面积分和线积分

与一元函数不同，多元函数无不定积分的概念，因为多元函数的微分（方向导数）不是建立在多元函数集合内的映射。n元函数f(X)的梯度∇f(X)是个n维欧几里得空间内的向量，即由n个n元函数组成。n维欧几里得空间内的某类向量可以通过线积分得到一个多元函数——即标量，但一般向量此线积分与路径有关（即得不到一个仅与空间位置相关的多元函数）。

虽然多元函数没有“不定积分”，但其却有几类不同的“定积分”存在，下面分别给出简单介绍：

一）重积分

设Ω为Rⁿ上的零边界（边界的Rⁿ体积测度为零）闭区域，函数y=f(X)在Ω上有界。将Ω用带标志点划分(P,ξ)

a1=x1(0)≤ξ1(1)≤x1(1)≤...≤x1(m1)=b1
a2=x2(0)≤ξ2(1)≤x2(1)≤...≤x2(m2)=b2
....
an=xn(0)≤ξn(1)≤xn(1)≤...≤xn(mn)=bn

分割成N个小区域∆Ωi，其体积为∆Vi=∆x1∆x2...∆xn，对角线长Li=|∆X|，划分参数λ=max{Li}，黎曼和为

∑[i=1,N] f(ξ(i))∆Ωi

现在，构造划分参数趋于零的一划分列{(P(k),ξ)}，相应的黎曼和构成数列{S(k)}。如果此数列收敛于S，即

S = lim[k→∞] S(k)

则称函数f(X)在Ω上可积，并称S为函数f(X)在有界闭区间Ω上的n重积分，记为

∫[Ω] f(X)dV

其中X是积分变量（向量），dV是（微分）体积元。

显然，如果f(X)=1，则其Ω上的n重积分就是Ω的体积。

n重积分可以理解为具有非均匀密度的“求积”运算。如在三维欧几里得空间R³上求范围在Ω内且质量密度为f(X) = ρ(x,y,z)的质量M，可表示为

M = ∫[Ω] f(X)dV = ∭[Ω] ρ(x,y,z)dxdydz

其中“∭”表示三重积分，dxdydz表示三维微分体积元。

从上式M = ∭[Ω] ρ(x,y,z)dxdydz可看到，重积分可以化成累次积分，即

M = ∫(∫(∫ρ(x,y,z)dx)dy)dz

这是计算重积分的一个有效方法。

二）第一类线积分

设L是空间R³上一条可求长度的连续曲线，其端点为A和B，函数f(X)在L上有界。令A=p(0)，B=p(n)。在L上从A到B顺序地插入划分点p(1),p(2),...,p(n-1)，再分别在每个小弧段p(i-1)p(i)上任取一点ξ(i)，并记p(i-1)p(i)弧长为∆l(i)。这实际上是在曲线L上作了一个带标志点的划分(P,ξ)，其参数是λ=max{∆l(i)|i=1,2,...,n}。黎曼和为

∑[i=1,n] f(ξ(i))∆l(i)

现构造参数趋于零的曲线L的任一划分列{(P(k),ξ)}，相应的黎曼和数列为{S(k)}。如果存在S，满足

S = lim[k→∞] S(k)

则称S为函数f(X)在曲线L上的第一类曲线积分，记为

∫[L] f(X)dl

显然，当f(X)=1时，第一类线积分就是曲线长。

三）第一类面积分

设Ω是空间R³上有界光滑（或分片光滑）曲面，函数f(X)在Ω上有界。将曲面Ω用一个光滑曲线网（一种划分）分成n片小曲面∆Ω(i)其面积为∆s(i)且在相应小曲面内任取一点ξ(i)（i=1,2,...,n）。这同样是一个带标志点的划分，其参数λ是小曲面的最大“直径”。黎曼和为

∑[i=1,n] f(ξ(i))∆s(i)

同样构造参数趋于零的曲面Ω的任一划分列{(P(k),ξ)}，相应的黎曼和数列为{S(k)}。如果存在S，满足

S = lim[k→∞] S(k)

则称S为函数f(X)在曲面Ω上的第一类曲面积分，记为

∫[Ω] f(X)ds

显然，当f(X)=1时，第一类面积分就是曲面积。

四）第二类线积分

设R³内向量值函数f(X)为

f(X) = i fx(X) + j fy(X) + k fz(X)

有向光滑曲线（线上各点存在切线）上的微分线元向量（方向同切线）dl为

dl = (i cos(α) + j cos(β) + k cos(γ))dτ

其中dτ是微分线元，α、β和γ是线元向量和坐标轴的夹角。

第二类曲线积分定义为

∫[L] f(X)•dl
= ∫[L] (i fx(X) + j fy(X) + k fz(X))•(i cos(α) + j cos(β) + k cos(γ))dτ
= ∫[L] (fx(X)cos(α) + fy(X)cos(β) + fz(X)cos(γ))dτ

其中，∫[L] (fx(X)cos(α) + fy(X)cos(β) + fz(X)cos(γ))dτ是第一类曲线积分。

五）第二类面积分

设R³内向量值函数f(X)为

f(X) = i fx(X) + j fy(X) + k fz(X)

有向光滑曲面（面上各点存在法线）上的微分面元向量（方向同法线）ds为

ds = (i cos(α) + j cos(β) + k cos(γ))dτ

其中dτ是微分面元，α、β和γ是面元向量和坐标轴的夹角。

第二类曲面积分定义为

∫[Ω] f(X)•ds
= ∫[Ω] (i fx(X) + j fy(X) + k fz(X))•(i cos(α) + j cos(β) + k cos(γ))dτ
= ∫[Ω] (fx(X)cos(α) + fy(X)cos(β) + fz(X)cos(γ))dτ

其中，∫[Ω] (fx(X)cos(α) + fy(X)cos(β) + fz(X)cos(γ))dτ是第一类曲面积分。

2万 · 2018-2-28 11:07

场论初步所需的基本概念和关系式

1）三维空间的哈密尔顿微分算子——∇

∇ = i ∂/∂x + j ∂/∂y + k ∂/∂z

其中，i、j和k表示笛卡尔坐标x、y和z三个轴上的单位向量。

显然，∇不仅是个微分算子，且还是个向量（三个轴上的“分量”表示在相应轴上的偏导）。

2）梯度

关于梯度，在前面的“方向导数”中已经提到，这里给出三维空间下的定义式

∇f = i ∂f/∂x + j ∂f/∂y + k ∂f/∂z

其中，f是个三维空间内的标量函数——f(x,y,z)。

显然，梯度是个向量。标量f的梯度方向表示的是f随空间点变化而增加最快的方向，其大小为此方向上f的方向导数（变化率）。

3）散度

散度是微分算子与向量的“点积”，具体为

∇∙A = ∂Ax/∂x + ∂Ay/∂y + ∂Az/∂z

其中A是个向量，具体为

A = i Ax + j Ay + k Az

其中，Ax、Ay和Az是向量A在x、y和z轴上的分量。

显而易见，散度是个标量。向量A在某点上的散度表示的是包含此点的一个体积微元内向量A在此体积微元界面上由内至外的通量除微元体积，即单位体积下向外的通量。

4）旋度

旋度是微分算子与向量的“叉积”，具体为

∇×A = i (∂Az/∂y - ∂Ay/∂z) + j (∂Ax/∂z - ∂Az/∂x) + k (∂Ay/∂x - ∂Ax/∂y)

显然，旋度也是个向量。向量A在某点上的旋度方向表示的是环绕此点的所有有向环微元中向量A关于相应环的环量最大的那个环的法线方向（符合右手螺旋法则），其大小为那个最大环量除环面积（即单位面积下的环量）。

5）几个常用的关系式

∇×∇f=0

∇∙(∇×A)=0

∇×(∇×A)=∇(∇∙A)-∇²A

∇∙(fA)=A∙∇f+f∇∙A

∇×(fA)=∇f×A+f∇×A

6）两个常用的定理

高斯散度定理

∮A•ds = ∫∇•Adv

斯托克斯旋度定理

∮A•dl = ∫∇×A•ds