极限的多维拓广
至此为止，前面所讨论的都是在一维实数集R上的数或数集以及在其上的映射、极限、微分和积分等内容。下面开始将把相关的内容拓广到多维空间上。首先，将映射和极限作相应的多维拓广。为此，先引入几个概念：
1）笛卡尔积集
设x(1),x(2),...,x(n)是n个实数，将其构成一个n维向量（数组）
(x(1),x(2),...,x(n))
将所有n维向量组成的集合称为n维笛卡尔积集
Rⁿ = R×R×...×R = {(x(1),x(2),...,x(n))|x(i)∈R,i=1,2,...,n}
Rⁿ上的向量也被称为“点”，x(i)（i=1,2,...,n）为相应的坐标。此外，在Rⁿ上还定义了加法和数乘，即对于
A = (a(1),a(2),...,a(n))∈Rⁿ
B = (b(1),b(2),...,b(n))∈Rⁿ
λ∈R
定义
A + B ≝ (a(1)+b(1),a(2)+b(2),...,a(n)+b(n))
λA ≝ (λa()1,λa(2),...,λa(n))
2）欧几里得空间
如果在上述的n维笛卡尔积集Rⁿ的基础上，再定义内积如下
A•B = ∑[i=1,n] a(i)b(i)
则此Rⁿ称为n维欧几里得空间。相应空间内的向量自内积的开方（√A•A）被定义为此向量的模（|A|），也称欧几里得范数（‖A‖），即
‖A‖ = |A| = √(∑[i=1,n] a(i)²)
对于欧几里得范数（或模），有如下性质
a）正定性，即|A|≥0，且|A|=0当且仅当A=0=(0,0,...,0)。
b）对称性，即|A|=|-A|。
c）三角不等式，即|A-C|≤|A-B|+|B-C|
3）距离
一维实数集是个线性序集，所以其上的“点”（即实数）具备大小关系。但拓广到n维欧几里得空间后，其上的点就不再具有此关系。在此，我们引入距离的概念，即对于两点A和B定义其距离为|A-B|。显然，|A-B|=0当且仅当A=B。
有了这些概念作为基础，下面就可以将映射（函数）和极限拓广到n维的欧几里得空间上去。
一）n元函数
设Rⁿ是n维欧几里得空间，定义如下映射为n元函数
f: Rⁿ→R
或表示为
y = f(x(1),x(2),...,x(n))
其中，y∈R且x(i)∈R（i=1,2,...,n）。
二）n维欧几里得空间下点列的极限
设有点列{X(k)|X(k)∈Rⁿ,k=1,2,...}，如果存在定点A∈Rⁿ，满足
∀ε>0,∃N,∀k>N(|X(k)-A|<ε)
则称此点列收敛，A为其收敛极限，表示为
lim[k→∞] X(k) = A，或X(k)→A
Rⁿ上点列极限与其坐标分量数列极限的关系
设{X(k)}是Rⁿ上的点列，A是Rⁿ上的一个定点。点列{X(k)}收敛于A的充分必要条件是{X(k)}的n个坐标数列收敛于A的相应n个坐标。
三）n元函数的n重极限
设有n元函数
y = f(X)
其中，y∈R，X∈Rⁿ。对于定点X0∈Rⁿ，如果存在A∈R满足
∀ε>0,∃δ,∀X(0<|X-X0|<δ(|f(X)-A)|<)ε)
则称n元函数f(X)在X0点上收敛，A为其收敛n重极限（或简称极限），表示为
lim[X→X0] f(X) = A
注意，这里的X→X0表示X可以任何方式逼近定点X0。
四）n元函数的n次极限
设有n元函数
y = f(X)
其中，y∈R，X=(x(1),x(2),...,x(n))∈Rⁿ。对于定点X0=(x0(1),x0(2),...,x0(n))∈Rⁿ，如果存在A∈R满足
lim[x(k1)→x0(k1)]lim[x(k2)→x0(k2)]...lim[x(kn)→x0(kn)] f(X) = A
其中k1,k2,...,kn是1,2,...,n的某一排列，则称n元函数f(X)在次序k1,k2,...,kn下收敛，A为其此次序下收敛的n次极限。
注意，针对不同的次序k1,k2,...,kn（即1,2,...,n的不同排列），相应的n次极限不一定相同。但若n元函数f(X)存在n重极限，则其任意次序下的n次极限都相同，且等于其n重极限。
五）n元函数的连续性
设有n元函数
y = f(X)
其中，y∈R，X∈Rⁿ。对于定点X0∈Rⁿ，如果成立
lim[X→X0] f(X) = f(X0)
则称n元函数f(X)在点X0连续。
六）向量值函数
前面n元函数的值是个实数，即函数值是一维的。如果将m个n元函数组合起来，其组合后的值是m维欧几里得空间上的一点。此n元函数的组合称为向量值函数。
关于极限论其他概念和性质的多维拓广，在此略。
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