sinx/x的特征

[复制链接]
2794|5
 楼主| xukun977 发表于 2018-5-15 18:39 | 显示全部楼层 |阅读模式

学习过程,就是知识积累的过程,哪怕每天学一个知识点,时间久了都不得了了。
当然了,开始时候学的快,到后面越学越慢了,有时候一个知识点要琢磨好几天才能学会。

言归正传。sinX/X这个函数太常见,太重要了,例如傅里叶分析中就经常出现。所以我们有必要熟悉它的特征。

先看看这个函数的图形:


56.JPG

从图形上看,在x取零时,函数取最大值1,在此点函数导数为0
而且这个函数关于纵坐标对称。

函数在x=kπ(k为整数)点经过零点。

此外,这个函数从0到∞积分,结果等于π/2!

一般教科书会简单介绍这些结论。












 楼主| xukun977 发表于 2018-5-15 18:56 | 显示全部楼层

但单单掌握到这种程度,是远远不够的。

1,奇偶性

对sinx做级数展开,则sin/x=1-x^2/6+x^4/120-......,可见,只有偶次项存在,所以是偶函数。

2,极值点

我们在上一次的微积分课程中,刚刚说过如何求极值点。把函数拽过来求导d(sinx/x)/dx=0,得到tanx=x!
玩蛋了,这个跨越方程,和我上个帖子说的朗伯W函数一样,直接求解有点费劲。
当x很大时,可以逼近,求得近似解,大约在(2k+1)π/2点确定极值。

这里可以近似出个小技巧,就是在极值点xn处的函数值,等于1/xn!!!例如当x=3π/2时,对应的函数极小值等于2/3π!
这个规律应该有所了解。

3,过零点
这个比较简单,原点除外,由sinx决定,很明显是π的整数倍处。


根据以上3条,我们对sinx/x图形就掌握住了,因为它的各个要害点(在哪,是多少)都掌控住了,根据这些可以直接手工画图了。






 楼主| xukun977 发表于 2018-5-15 19:02 | 显示全部楼层

上面不过是刻画sinx/x的图形特征罢了,掌握住这些还远远不够,这个只是初步,还必须掌握住这个函数的积分特征!即运算法则。


掌握住运算法则还远远不够,还必须研究它作为扫描函数使用时的特征,把吉布斯现象中的那个数据9%给解决了,才算完事。




 楼主| xukun977 发表于 2018-5-15 20:43 | 显示全部楼层

下面的电路分析基础课,用的是我原来上学时看的电路分析基础,以及工程电路分析(英文第8版我上传过了),大家可以随意任选一本国外的类似科目就行了,内容差不多的,但是不推荐使用国产教材,例如邱关源之类的,再简单的东西通过国产教材一说,就有点懵了。



231.JPG









billypeng 发表于 2018-5-20 22:18 | 显示全部楼层
很多书都提到吉布斯现象, 但没有给出数学表达。
ic945 发表于 2018-7-24 18:32 来自手机 | 显示全部楼层
xukun977 发表于 2018-5-15 18:56
但单单掌握到这种程度,是远远不够的。

1,奇偶性

对于前辈此处所提到的在xn无穷大时的等效,我可以冒失的理解为由于1/x的波动在后面自变量趋于无穷的过程中波动没有sinx明显故极值点主要是有sinx波起的,所以其极值点可以近似为sinx的极值点,所以在极值点的值可以视为正负1/x了?
您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

个人签名:模电讨论兴趣小组群微信号:xukun977

1897

主题

22577

帖子

295

粉丝
快速回复 在线客服 返回列表 返回顶部