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为什么那么多地方会用到自然底数e?

热度 3已有 1632 次阅读2017-5-29 14:19 |个人分类:编程田地|系统分类:兴趣爱好| 自然底数, 欧拉公式

自然底数e出现的频率非常高,尤其在信号处理里面,例如信号通常会用ejwt来表示。又例如高斯分布(即正态分布)里,也出现e。还有神奇的欧拉公式也有e。为什么e的出镜率会这么高呢?它是怎么来的?

我们知道微积分是非常重要的一个数学工具,可以用来解决很多数学和工程问题,最简单的例如计算切线斜率,求极值,计算面积、体积等。然而在微积分中,很多函数的求导和积分并不是那么简单,至少不是让人很愉悦。万能的人们就在想,神啊,有没有一种函数,哪怕只有一种,它求导或积分后,还是自己呢?如果有这样一种函数,求导和积分就方便了,只要想办法把其它函数也变换成这种函数来表示,就都可以算出来了。万能的人们找啊找,突然发现指数函数有一种非常好的性质。例如指数函数y=ax,按照导数的定义,有

f’(x)=dy/dx

                 =(f(x+dx)-f(x))/dx

=(ax+dx-ax)/dx

=(axadx-ax)/dx

=ax(adx-1)/dx

如果(adx-1)/dx这个式子,当dx趋于0时,极限存在,假设为一常数c,那么我们就可以得出,指数函数y=ax的导数和原函数成一定比例关系,即y’=cy。如果我们令这个常数c1,那么就得到了人们梦寐以求的那个原函数和导数一样的函数。这个非常爽的底数推导如下:

dx趋于0时,令(adx-1)/dx=1,有

(adx-1)=dx

adx=dx+1

两边同时开dx次方(类似x2=y,则有x=y1/2),有

a=(dx+1)1/dx,其中dx趋于0

由于dx趋于0,可以令dx=1/n,其中n趋于无穷。可得

a=(1+1/n)n。我们把此时求得的a叫做自然底数,用专门的记号e来表示。当n趋于无穷时,(1+1/n)n这个级数的极限越为2.718281828459045……

底数为e的指数函数ex,它的求导和积分都是它自己,并且不管多少阶求导和积分都一样,非常方便。

另外,e=(1+1/n)n这个极限还和复利的计算有关。假设某周期内(例如1年)的利率为1(即100%),即存满一个周期后金额翻倍。如果存到一半就取出来,然后把利息一并加进去再存,最终的总金额倍数就是(1+1/2)(1+1/2)=2.25。如果把该周期平均分成n等份,那么每一份的利率应该就是1/n,然后计算复利,到期末时的总金额的倍数应该就是(1+1/n)(1+1/n)(1+1/n)……(1+1/n)等于(1+1/n)n,当n增大时,最终的总金额的倍数会越来越多,但最终会趋于一个极限e=(1+1/n)n,它就是我们刚刚得出的自然底数。

由于ex有求导后有等于自身的特性,所以它的麦克劳林展开很容易计算。同样,sin(x)cos(x)函数的求导也比较简单,把sin(x)cos(x)函数也用麦克劳林展开,发现它们和ex展开之间有很多相似的地方。如果我们把ex换成eix,惊人地发现,eix展开后居然等于cos(x)+isin(x),这就是著名的欧拉公式。


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