自然底数e出现的频率非常高，尤其在信号处理里面，例如信号通常会用ejwt来表示。又例如高斯分布（即正态分布）里，也出现e。还有神奇的欧拉公式也有e。为什么e的出镜率会这么高呢？它是怎么来的？

我们知道微积分是非常重要的一个数学工具，可以用来解决很多数学和工程问题，最简单的例如计算切线斜率，求极值，计算面积、体积等。然而在微积分中，很多函数的求导和积分并不是那么简单，至少不是让人很愉悦。万能的人们就在想，神啊，有没有一种函数，哪怕只有一种，它求导或积分后，还是自己呢？如果有这样一种函数，求导和积分就方便了，只要想办法把其它函数也变换成这种函数来表示，就都可以算出来了。万能的人们找啊找，突然发现指数函数有一种非常好的性质。例如指数函数y=ax，按照导数的定义，有

f’(x)=dy/dx

                 =(f(x+dx)-f(x))/dx

=(ax+dx-ax)/dx

=(axadx-ax)/dx

=ax(adx-1)/dx

如果(adx-1)/dx这个式子，当dx趋于0时，极限存在，假设为一常数c，那么我们就可以得出，指数函数y=ax的导数和原函数成一定比例关系，即y’=cy。如果我们令这个常数c为1，那么就得到了人们梦寐以求的那个原函数和导数一样的函数。这个非常爽的底数推导如下：

当dx趋于0时，令(adx-1)/dx=1，有

(adx-1)=dx

adx=dx+1

两边同时开dx次方（类似x2=y，则有x=y1/2），有

a=(dx+1)1/dx，其中dx趋于0。

由于dx趋于0，可以令dx=1/n，其中n趋于无穷。可得

a=(1+1/n)n。我们把此时求得的a叫做自然底数，用专门的记号e来表示。当n趋于无穷时，(1+1/n)n这个级数的极限越为2.718281828459045……

底数为e的指数函数ex，它的求导和积分都是它自己，并且不管多少阶求导和积分都一样，非常方便。

另外，e=(1+1/n)n这个极限还和复利的计算有关。假设某周期内（例如1年）的利率为1（即100%），即存满一个周期后金额翻倍。如果存到一半就取出来，然后把利息一并加进去再存，最终的总金额倍数就是(1+1/2)(1+1/2)=2.25。如果把该周期平均分成n等份，那么每一份的利率应该就是1/n，然后计算复利，到期末时的总金额的倍数应该就是(1+1/n)(1+1/n)(1+1/n)……(1+1/n)等于(1+1/n)n，当n增大时，最终的总金额的倍数会越来越多，但最终会趋于一个极限e=(1+1/n)n，它就是我们刚刚得出的自然底数。

由于ex有求导后有等于自身的特性，所以它的麦克劳林展开很容易计算。同样，sin(x)和cos(x)函数的求导也比较简单，把sin(x)和cos(x)函数也用麦克劳林展开，发现它们和ex展开之间有很多相似的地方。如果我们把ex换成eix，惊人地发现，eix展开后居然等于cos(x)+isin(x)，这就是著名的欧拉公式。