四元数
               
               
       


            
               
                   

对于四元数的概念也许大家不太熟悉，这里介绍下四元数概念，四元数、矩阵和欧拉角之间的关系，四元数球面插值的概念。这还是从当年写的本科毕业论文中摘录下来的，相当的没有技术含量。四元数的代码实现，见下载页面。

一． 四元数
1.1 四元数的概念

四元数是由爱尔兰数学家威廉•卢云•哈密顿在1843年发现的数学概念，在图形学中有重要的应用。在3D程序中，通常用四元数来计算3D物体的旋转角度，与矩阵相比，四元数更加高效，占用的储存空间更小，此外也更便于插值。 可以把四元数看做一个标量和一个3D向量的组合。实部w表示标量，虚部表示向量标记为V或三个单独的分量（x,y,z）,则四元数可以记为[ w, V]或[ w，（x,y,z）]。正规化四元数可以表示为： 在三维中，可以用四元数表示绕着某个轴的旋转，如下公式所示：

α表示旋转的角度，cos(βx), cos(βy) 和cos(βz)表示定位旋转轴的方向余弦

根据欧拉旋转定理，任何两个坐标系的相对定向，可以由一组四个数字来设定；其中三个数字是方向余弦，用来设定特征矢量（固定轴）；第四个数字是绕着固定轴旋转的角值。这样四个数字的一组称为四元数。上面这段话阐述了四元数的原理：三维空间内所有的旋转都可以用四个数来表示。在通过四元数方法来计算旋转，已经替代了方向余弦方法，这是因为它能减少所需的工作，和它能减小舍入误差。在电脑图形学里，四元数与四元数之间，简易执行插值的能力是很有价值的。

1.2 旋转矩阵

旋转矩阵（Rotation
Matrix）与一个向量相乘，会改变向量的方向但不改变大小的效果。旋转可分为主动旋转与被动旋转。主动旋转是指将向量逆时针围绕旋转轴所做出的旋转。
被动旋转是对坐标轴本身进行的逆时针旋转，它相当于主动旋转的逆操作。在三维空间中，旋转矩阵有一个等于单位1的实特征值。只用三个实数就可以指定一个 3
维旋转矩阵。生成旋转矩阵的一种简单方式是把它作为三个基本旋转的序列复合。关于右手笛卡尔坐标系的 x-, y- 和 z-轴的旋转分别叫做
roll, pitch 和 yaw 旋转。因为这些旋转被表达为关于一个轴的旋转，它们的生成元很容易表达。

1.2 欧拉角

图1 欧拉角表示

设定 xyz-轴为参考系的参考轴，称 xy-平面与 XY-平面的相交为交点线，用英文字母（Ｎ）代表。zxz 顺规的欧拉角可以静态地这样定义:（1）a 是 x-轴与交点线的夹角；（2）B是 z-轴与Z-轴的夹角；（3）r 是交点线与X-轴的夹角。 欧
拉角来描述刚体在三维欧几里得空间的取向，如图1所示。对于任何一个参考系，一个刚体的取向，是依照顺序，从这参考系，做三个欧拉角的旋转而设定的。所
以，刚体的取向可以用三个基本旋转矩阵来决定。换句话说，任何关于刚体旋转的旋转矩阵是由三个基本旋转矩阵复合而成的。对于在三维空间里的一个参考系，任
何坐标系的取向，都可以用三个欧拉角来表现。参考系又称为实验室参考系，是静止不动的。而坐标系则固定于刚体，随着刚体的旋转而旋转。 设
定刚体取向的旋转矩阵[R]是由三个基本旋转矩阵合成的，单独分开作用，每个矩阵各自代表绕着其转动轴的旋转。但是，当它们照次序相乘，最里面的(最右
的) 矩阵代表绕着 z 轴的旋转，最外面的(最左的) 矩阵代表绕着 Z 轴的旋转，在中间的矩阵代表绕着交点线的旋转。

1.3    旋转矩阵、欧拉角和四元数之间的转化关系

旋转矩阵、欧拉角、四元数都可以表示三维空间模型的旋转，三者间也可以相互转化。正规化四元数q0+iq1+jq2+kq3可以用矩阵形式表示：   欧拉角也可转化成矩阵形式，欧拉角φ, θ, ψ表示的顺时针旋转可以用下面的矩阵形式表示：   通过组合欧拉旋转（欧拉角分别是, θ, ψ）的四元数表达示，可以得到欧拉角到四元数的转化关系，如下面的公式所示：   同时可以得到，四元数到欧拉角的转换关系，如下面的公式所示：

arctan和arcsin的结果是[-π/2,π/2]，这并不能覆盖所有朝向，因此需要用atan2来代替arctan，从而产生所有可能的朝向，得到新的公式如下面所示：