复习渐进级数

按道理来说，学习完微积分等基础学科，要想学习知识应用型科目，如半导体物理，中间还需要补充一门过渡科目，例如数学物理。

这里说明一下截断和渐进级数的概念。

考虑积分：





根据二项式定理，有：



明显这个级数当x<w时收敛。


据此可求出f(w)的闭合表达式为：





现在来检验这个级数的收敛性，可以测试两项之比：





可见对于所有w值，级数f(w)是发散的。



不能因为级数是发散的，就让它废了，可以只取前面N项，让它收敛，就有大用了。







可以证明，截断所带来的误差，数值上小于所需略的第一项，即N+1项。而且当N为定值时，w-->∞时余项趋于0.
所以，就把上面这个有限项函数叫渐进级数。

在工程计算中，渐进级数是个超级重要的概念，各种文献资料中的家常便饭。

为何重要？举例说明。
对于零阶贝塞尔函数，其一般表达式为：





上面同时给出了贝塞尔函数当x较大时的渐进级数。

当x较小时，第一个表达式只需要几项就能给出精确结果，但是当x增大，产生同样精度所需的项数，会急剧增大。例如J0（4）,3位精度需要前8项。而使用第二个表达式，只需要第一项即可产生相同的精度。
随着x的进一步增加，由于计算机的字长是有限值，第一个表达式已经废掉了。此时用第二个表达式几乎是必须的。当然了，如果编程者技能较高，可以缓解这个问题。




另外，截断是个常用的概念，工程数学教材上有截断拉普拉斯变换，积分上限不是常规的∞，而是某一个定值。这种变换的作用之一是简化傅里叶变换。

看书如同走台阶，理论上只要台阶很小，可以轻松跨越而前行。
如果台阶高度太大，例如半米高，此时跨越台阶就费劲了，可能跨一个台阶就要耗费较长时间，反不如台阶高度小的情况下走的快。
甚至会因为感觉太难爬了而撤退。





所以工程师看书要注意根据自己的情况，选择合适的书。究竟什么样的书合适，别人不好判断的。