正本清源——解析延拓

2万 · 2018-5-13 14:28

因未给出《复变函数》完整的系统性梳理，所以在此不想完整解释《复变函数》中关于解析延拓的相关具体详细内容。仅给出几个基本定义。

学过《复变函数》的，可以参照教科书复习一下。

2万 · 2018-5-13 14:30

定义：

设D是一区域，f(z)是D内的单值解析函数，这种区域和函数的组合称为一个解析函数元素，记为{D,f(z)}。两个解析函数元素当且仅当其区域重合且区域内函数相等时，称为两个解析函数元素相等。

譬如

对于{D1,f1(z)}和{D2,f2(z)}，若D1=D2(=D)且f1(z)=f2(z)(=f(z))(z∈D)，那么可以写成

{D1,f1(z)} = {D2,f2(z)} = {D,f(z)}

定义：

如果D1⋂D2=D12为一区域（D1≠D2），且f1(z)=f2(z)(z∈D12)，则两个解析函数元素{D1,f1(z)}和{D2,f2(z)}称为互为直接解析延拓。

需注意的是

{D1,f1(z)} ≠ {D2,f2(z)}

f1(z)和f2(z)之值只是条件相等，即

f1(z) = f2(z) (z∈D12)

定义：

给定解析函数元素序列{D1,f1(z)},{D2,f2(z)},...,{Dn,fn(z)}，如果此序列中相邻两个解析函数元素相互直接解析延拓，则称此序列为解析延拓链。序列中非相邻的两个解析函数元素间称为互为（间接）解析延拓。

需注意的是，（间接）解析延拓的两个解析函数可以完全不相等，即没有函数相同的区域。也就是说，两个（间接）解析延拓函数可以是完全值不相同的两个函数。

2万 · 2018-5-13 14:35

附加说明：

譬如

f1(z) = 1 + z + z^2 + ...

和

f2(z) = 1/(1-z)

相应的D就不同，所以其不是相同的解析函数。

正本清源——解析延拓

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