正态分布是概率论及统计学中的一个重要内容, 也是历年研究生入学数学考试中常考的内容. 首先总结一下相关知识. 一. 一维正态分布 假设随机变量x服从一维正态分布 , 它的分布函数为 ; 标准正态分布 的分布函数为 . 有以下结论成立: 1. 服从标准正态分布 ; 2. + ; 3. ; 4. 服从 ; 5. 假设随机变量 相互独立, , , 则 h 服从 ; 6. (作为5. 的特例) 假设随机变量 相互独立同分布于 , , 则 服从 . 二. 二维正态分布 1. 假设二维随机变量 , 则x服从 ,则h服从 ; 2. x, h的相关系数 ; 3. x, h相互独立 x, h不相关 (对于非正态分布的二维随机变量的结论是: x, h相互独立Þ x, h不相关, 反之不然). 例1 设X, Y为服从正态分布N(a, s2)的随机变量, X与Y相互独立, 求E(min(X, Y)). 解. 令Z = X-Y, 则Z~N(0, 2s2). 所以 所以 . 例2 (2000年数学四) 设二维随机变量(X, Y)的密度函数为 其中 和 都是二维正态密度函数, 且它们对应的二维随机变量的相关系数分别为 . 它们的边缘密度函数所对应的随机变量的数学期望都是0, 方差都是1. i. 求随机变量X和Y的密度函数 及X和Y的相关系数r(可直接利用二维正态密度的性质); ii. 问X与Y是否独立? 为什么? 解. 由二维正态密度的性质 , , (i = 1, 2) i. 所以 E(X) = 0, E(Y) = 0, D(X) = 1, D(Y) = 1 = ii. 由已知条件 所以 . 因此 X, Y 不相互独立. 例3 (2001年数学一) 假设总体服从正态分布 , 从该总体中抽取简单随机样本 , 其样本均值为 , 求统计量 的数学期望 . 解: 考察 . 将它们看成总体 中抽取的样本. 该组样本的样本均值为: 该组样本的样本方差为: 样本方差为总体方差的无偏估计, 所以 . 所以 |