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1 前言 控制系统通常根据有没有反馈会分为开环系统和闭环系统，在闭环系统的控制中，PID算法非常强大，其三个部分分别为； PID算法可以自动对控制系统进行准确且迅速的校正，因此被广泛地应用于工业控制系统。 2 开环控制首先来看开环控制系统，如下图所示，隆哥蒙着眼，需要走到虚线旗帜所表示的目标位置，由于缺少反馈（眼睛可以感知当前距离和位置，由于眼睛被蒙上没有反馈，所以这也是一个开环系统），最终隆哥会较大概率偏离预期的目标，可能会运行到途中实线旗帜所表示的位置。
开环系统的整体结构如下所示；
这里做一个不是很恰当的比喻； - Input：告诉隆哥目标距离的直线位置（10米）；
- Controller：隆哥大脑中计算出到达目标所需要走多少步；
- Process：双腿作为执行机构，输出了相应的步数，但是最终仍然偏离了目标；
看来没有反馈的存在，很难准确到达目标位置。 3 闭环控制所以为了准确到达目标位置，这里就需要引入反馈，具体如下图所示；
在这里继续举个不怎么恰当的比喻；隆哥重获光明之后，基本可以看到目标位置了； - 第一步Input：告诉隆哥目标距离的直线位置（10米）；
- 第二步Controller：隆哥大脑中计算出到达目标所需要走多少步；
- 第三步Process：双腿作为执行机构，输出了相应的步数，但是最终仍然偏离了目标；
- 第四步Feedback：通过视觉获取到目前已经前进的距离，（比如前进了2米，那么还有8米的偏差）；
- 第五步err：根据偏差重新计算所需要的步数，然后重复上述四个步骤，最终隆哥达到最终的目标位置。
4 PID4.1 系统架构虽然在反馈系统下，隆哥最终到达目标位置，但是现在又来了新的任务，就是又快又准地到达目标位置。所以这里隆哥开始采用PID Controller，只要适当调整P，I和D的参数，就可以到达目标位置，具体如下图所示；
隆哥为了最短时间内到达目标位置，进行了不断的尝试，分别出现了以下几种情况； - 跑得太快，最终导致冲过了目标位置还得往回跑；
- 跑得太慢，最终导致到达目标位置所用时间太长；
经过不断的尝试，终于找到了最佳的方式，其过程大概如下图所示；
这里依然举一个不是很恰当的比喻； - 第一步：得到与目标位置的距离偏差（比如最开始是10米，后面会逐渐变小）；
- 第二步：根据误差，预估需要多少速度，如何估算呢，看下面几步；
P比例则是给定一个速度的大致范围，满足下面这个公式；
K p ∗ e ( t ) K_p*e(t)Kp∗e(t)
因此比例作用相当于某一时刻的偏差（err）与比例系数K p K_pKp的乘积，具体如下所示；
绿色线为上述例子中从初始位置到目标位置的距离变化；
红色线为上述例子中从初始位置到目标位置的偏差变化，两者为互补的关系；
I积分则是误差在一定时间内的和，满足以下公式；
K i ∫ 0 t e ( τ ) d τ K_i\int_{_0}^te(\tau)d\tauKi∫0te(τ)dτ 如下图所示；
红色曲线阴影部分面积即为积分作用的结果，其不断累积的误差，最终乘以积分系数K i K_iKi就得到了积分部分的输出；
D微分则是误差变化曲线某处的导数，或者说是某一点的斜率，因此这里需要引入微分；
K d d e ( t ) d t K_d \cfrac{de(t)}{dt}Kddtde(t)
从图中可知，当偏差变化过快，微分环节会输出较大的负数，作为抑制输出继续上升，从而抑制过冲。
综上，K p ， K i ， K d K_p，K_i，K_dKp，Ki，Kd，分别增加其中一项参数会对系统造成的影响总结如下表所示； [color=rgba(0, 0, 0, 0.75)]参数上升时间超调量响应时间稳态误差稳定性
K p K_pKp减少增加小变化减少降级
K i K_iKi减少增加增加消除降级
K d K_dKd微小的变化减少减少理论上没有影响K d K_dKd小，稳定性会提升
4.2 理论基础上面扯了这么多，无非是为了初步理解PID在负反馈系统中的调节作用，下面开始推导一下算法实现的具体过程；PID控制器的系统框图如下所示；
因此不难得出输入e ( t ) e(t)e(t)和输出u ( t ) u(t)u(t)的关系； u ( t ) = K p e ( t ) + K i ∫ 0 t e ( τ ) d τ + K d d e ( t ) d t u(t) = K_pe(t)+K_i\int_0^te(\tau)d\tau+K_d\cfrac{de(t)}{dt}u(t)=Kpe(t)+Ki∫0te(τ)dτ+Kddtde(t) K p K_pKp是比例增益；
K i K_iKi是积分增益；
K d K_dKd是微分增益；
4.3 离散化在数字系统中进行PID算法控制，需要对上述算法进行离散化；假设系统采样时间为Δ t \Delta tΔt
则将输入e ( t ) e(t)e(t)序列化得到； ( e 0 , e 1 , e 2 , ⋯ , e n − 2 , , e n − 1 , e n ) (e_0,e_1,e_2,\cdots,e_{n-2},,e_{n-1},e_{n})(e0,e1,e2,⋯,en−2,,en−1,en) 将输出u ( t ) u(t)u(t)序列化得到；
( u 0 , u 1 , u 2 , ⋯ , u n − 2 , , u n − 1 , u n ) (u_0,u_1,u_2,\cdots,u_{n-2},,u_{n-1},u_{n})(u0,u1,u2,⋯,un−2,,un−1,un) - 比例项：K p e ( t ) → 离 散 化 K p e k K_pe(t)\xrightarrow{离散化}K_pe_kKpe(t)离散化Kpek
- 积分项：K i ∫ 0 t k e ( τ ) d τ → 离 散 化 K i ∑ i = 1 k e ( i ) Δ t K_i\int_0^{t_k}e(\tau)d\tau\xrightarrow{离散化}K_i\displaystyle\sum_{i=1}^ke(i)\Delta tKi∫0tke(τ)dτ离散化Kii=1∑ke(i)Δt
- 微分项：K d d e ( t k ) d t → 离 散 化 K d e ( k ) − e ( k − 1 ) Δ t K_d\cfrac{de(t_k)}{dt}\xrightarrow{离散化}K_d\cfrac{e(k) -e(k-1)}{\Delta t}Kddtde(tk)离散化KdΔte(k)−e(k−1)
所以最终可以得到式①，也就是网上所说的位置式PID：
u ( k ) = K p e k + K i ∑ i = 1 k e ( i ) Δ t + K d e ( k ) − e ( k − 1 ) Δ t \color{#0000FF} u(k)=K_pe_k+K_i\displaystyle\sum_{i=1}^ke(i)\Delta t+K_d\cfrac{e(k) -e(k-1)}{\Delta t}u(k)=Kpek+Kii=1∑ke(i)Δt+KdΔte(k)−e(k−1)
将式①再做一下简化；
Δ u ( k ) = u ( k ) − u ( k − 1 ) \Delta u(k) = u(k) - u(k-1)Δu(k)=u(k)−u(k−1)
最终得到增量式PID的离散公式如下： Δ u ( k ) = K p ( e ( k ) − e ( k − 1 ) ) + K i e ( k ) + K d ( e ( k ) − 2 e ( k − 1 ) + e ( k − 2 ) ) \Delta u(k)=K_p(e(k)-e(k-1))+K_ie(k)+K_d \Big( e(k)-2e(k-1)+e(k-2) \Big)Δu(k)=Kp(e(k)−e(k−1))+Kie(k)+Kd(e(k)−2e(k−1)+e(k−2)) 4.4 伪算法这里简单总结一下增量式PID实现的伪算法； previous_error := 0 //上一次偏差integral := 0 //积分和//循环 //采样周期为dtloop: //setpoint 设定值 //measured_value 反馈值 error := setpoint − measured_value //计算得到偏差 integral := integral + error × dt //计算得到积分累加和 derivative := (error − previous_error) / dt //计算得到微分 output := Kp × error + Ki × integral + Kd × derivative //计算得到PID输出 previous_error := error //保存当前偏差为下一次采样时所需要的历史偏差 wait(dt) //等待下一次采用 goto loop- 1
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5 C++实现这里是增量式PID算法的C语言实现； pid.cpp #ifndef _PID_SOURCE_#define _PID_SOURCE_#include <iostream>#include <cmath>#include "pid.h"using namespace std;class PIDImpl{ public: PIDImpl( double dt, double max, double min, double Kp, double Kd, double Ki ); ~PIDImpl(); double calculate( double setpoint, double pv ); private: double _dt; double _max; double _min; double _Kp; double _Kd; double _Ki; double _pre_error; double _integral;};PID::PID( double dt, double max, double min, double Kp, double Kd, double Ki ){ pimpl = new PIDImpl(dt,max,min,Kp,Kd,Ki);}double PID::calculate( double setpoint, double pv ){ return pimpl->calculate(setpoint,pv);}PID::~PID() { delete pimpl;}/** * Implementation */PIDImpl::PIDImpl( double dt, double max, double min, double Kp, double Kd, double Ki ) : _dt(dt), _max(max), _min(min), _Kp(Kp), _Kd(Kd), _Ki(Ki), _pre_error(0), _integral(0){}double PIDImpl::calculate( double setpoint, double pv ){ // Calculate error double error = setpoint - pv; // Proportional term double Pout = _Kp * error; // Integral term _integral += error * _dt; double Iout = _Ki * _integral; // Derivative term double derivative = (error - _pre_error) / _dt; double Dout = _Kd * derivative; // Calculate total output double output = Pout + Iout + Dout; // Restrict to max/min if( output > _max ) output = _max; else if( output < _min ) output = _min; // Save error to previous error _pre_error = error; return output;}PIDImpl::~PIDImpl(){}#endif- 1
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pid.h #ifndef _PID_H_#define _PID_H_class PIDImpl;class PID{ public: // Kp - proportional gain // Ki - Integral gain // Kd - derivative gain // dt - loop interval time // max - maximum value of manipulated variable // min - minimum value of manipulated variable PID( double dt, double max, double min, double Kp, double Kd, double Ki ); // Returns the manipulated variable given a setpoint and current process value double calculate( double setpoint, double pv ); ~PID(); private: PIDImpl *pimpl;};#endif- 1
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pid_example.cpp #include "pid.h"#include <stdio.h>int main() { PID pid = PID(0.1, 100, -100, 0.1, 0.01, 0.5); double val = 20; for (int i = 0; i < 100; i++) { double inc = pid.calculate(0, val); printf("val:% 7.3f inc:% 7.3f\n", val, inc); val += inc; } return 0;}编译并测试； g++ -c pid.cpp -o pid.o# To compile example code:g++ pid_example.cpp pid.o -o pid_example
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