有源RC电路频率响应速算技术

1，这个版块的定位是对本科教材的补充或者是加深说明，所以看这个帖子，事先懂一点模电基础；

2，我们强调方法的重要性，学习过之后，需要经常运用，使用时间久了，自然就会喜欢用；

3，我一直反对学过电路分析基础，就懂点节点法\网孔法，这种方法只对简单电路适用，超过3个节点或网孔时，计算量过大，没有实用价值了，此时使用我们这里说的速算法，效果很好的。所以此时满脑都是节点法，看到电路就有忍不住想窜上去列方程、解方程冲动的朋友，你看此贴可能会有不适感！

4，由于3的原因，我们希望初学者或新手，能尽可能早的学习并使用高效的方法和技术，否则等你满脑子被教材上的节点法充斥，相当于中毒了。

1，适用对象：线性时不变电路。

本贴虽然把研究对象限制于有源RC电路，例如下图所示的多重反馈滤波电路，实际上这种方法对线性时不变电路具有一般性，所以看过此贴，不要误以为这能处理有源RC电路，只是说RC有源电路具有一般性而已，无源RC电路只是它的特殊情形。








2，我们以前打赌时知道，一般来说，不能根据储能元件的个数，来判断电路的阶数。
但是对于我们这里说的有源RC电路，一般电路结构设计会保证储能元件的个数=电路的阶数，一般不会出现电容环的，特此说明。

正是基于这个原因，我们认为有源RC电路每个电容都对应于一个极点，传递函数TF的特征方程D(s)的次数n=电容的个数！





3,常见的实际电路中，一般来说，最高是3阶的，例如开关电源中的type 1,2,3型补偿电路，运放的容性负载补偿等。
所以，一般只需要研究3阶电路即可，可以解决绝大多数问题。








至于高阶电路，例如5阶，乃至于10阶，方法仍然有效，只是运算量过大而已，但是计算过程很简单。

说明一种方法，最好的办法是通过例子说明。

先从最简单的一阶电路开始。
下图是一阶有源全通滤波器【图中的R2=R3】：



因为电路中只有一个电容（运放视作理想的，也不考虑寄生电容目前），所以特征方程是一次的：







这个电路的传递函数为：


(  R2 )+ (  - C1 R1 R3 ) s
----------------------------------------
(  R2 )+ (  C1 R1 R2 ) s



所以这个一阶方程中的a1特别简单，就是电容C1乘以从电容两端看进去的阻抗（这里是R1，因为电容向右看进去是理想运放的无穷大输入阻抗）

论坛上有些同志不厚道，看人家帖子，转脸就跑去骂人家，一想到这点，就感觉到恶心，我就想把帖子设置成收费。

如果哪儿说错了，可以来商榷，也可以自己发帖，详细地指出哪儿错了，正确的应该是什么样的。
但是多数情况下，就引用一下我的帖子，丢下两个字：错误，然后扬长而去，不加任何说明，我理解这个是胡搅蛮缠行为。

设置成不收费算了。

言归正传。


从电容两端看进去的阻抗是多少，表面上这个问题简单，实际上要事先把各种可能情形研究一遍的，然后才能直接用肉眼观察到。







例如上图，从图中所标的端口，看进去的输入阻抗是多少？你能一眼看出来吗？


如果告诉你答案是Z=0，你是不是感觉很诧异？？？
乍一看起码跟R1和R2有关，怎么会是0呢？





如上图所示，要求Z=？,先把独立源置零，即Vs=0，短路处理，然后根据运放的虚短特性，得图中V=0，既然V=0,根据欧姆定律，Rs中的电流为零，再根据KCL定律，R1中的电流为零，再根据R1上欧姆定律可知，图中V1=0，也就是说从测试端口，不管加入多大的测试电流ix，端口电压总是零，所以阻抗Z=0/ix=0

继续看如何求a1

对于两个电容的情形，例如看下图：





看C1两端阻抗时，C2开路
看C2两端输入阻抗时，C1开路。


根据运放的虚短虚断特性，可以直接看出C1两端的阻抗是R2//R1，而C2两端的输入阻抗是R3+R4


所以整个电路的传递函数，可直接写成：





式子中的分子等会再说，这里只关信分母的写法。


以上过程书写规范方法是，做成表格：






表格中第一列a1部分，是开路时间常数，即计算C1时，C2开路。
表格中第二列a2部分，是短路时间常数，即计算C2看到的输入阻抗时，C1要短路。显然，C1短路之后，对C2两端看进去的输入阻抗，仍旧是R3+R4

以教科书上的两级分立件放大器为例，说明如何计算极点。





请注意，图中有4个电容，理论上可以有4个极点，但是，从实用角度考虑，只需要计算到2阶，即计算出D(s)=1+a1s+a2s就可以了，无需计算到a3，影响太小了。
当然了，如果是3级放大器，那必须计算到a3，否则误差过大。


第一步，计算4个开路时间常数。
例如计算tao 1：







其它3个时间常数如法**制。


把这4个时间常数加起来，就是a1，计算可知a1=7.29*10^5 nS，即我们得到了D（s)为：





下面计算a2.

2，第二步，把第一个电容短路掉，再计算另三个时间常数：





把这3个时间常数加起里，和为tao 1x



然后把第二电容短路掉，计算两个时间常数：



这两个时间常数之和=tao 2x


然后把第三个电容短路掉，计算出第4个电容处的时间常数，得到tao 3x


于是可得a2为：




a1和a2求出后，就可以求这个一元二次方程D(S)=0的根了，他们就是极点，可以求出第一个极点p1=139k rad/s，第二个极点是9.37M rad/s


对这个电路用spice仿真器，仿真出两个极点，和手算相比，P1相同，P2=9.57，也就是说手算有2%左右的误差，这个误差可以接受。




这样一来，只需使用加减乘除四则混合运算，无需解方程，就可以相当准确地确定极点的大小。




而上面的过程纯粹是为了演示具体过程，实际运算的时候，使用近似，速度还能快一半。

例如4个开路时间常数中，非常明显的是，其中两个最大的时间常数是C2和C4处的，其它两个时间常数和它比，可以忽略。
这两个较大的时间常数之和是7095，4个时间常数之和是7286，忽略2个小的时间常数，误差很小。
再例如C2电容短路后，C1两端的时间常数很小，可以忽略，C4短路后，C3两端的时间常数很小。

好贴