复习二项式定理

登录 · 发表于 2021-5-26 17:09

二项式定理，在数值计算方面的出现频率之高，高到成了家常便饭。

但是，相关的书籍和**，介绍二项式定理的时候，非常干瘪，就是给个公式，然后给一堆所谓的性质或结论。

原本生动有趣的知识内容，被搞成了枯燥乏味无聊，加之公式挺长，有些人还非常反感这个定理。

登录 · 发表于 2021-5-26 17:25

本帖最后由 xukun977 于 2021-5-26 17:28 编辑

二项式定理这个内容，属于有趣知识点，因为它起源于一个非常有意思的知识点--------神奇的对称！！

何谓对称？
用数学语言说，就是对于某个表达式，任何交换其中的两个字母，所得的表达式和变换之前的表达式是相等的。

例如对于下式：

不管交换哪两个字母，所得结果和上式之间是恒等的关系。

恒等的数学判断，就是充要条件为：同类型同系数！

例如上式，任何一个系数不同，结果就不相同，所以不是对称的。

数学上还有一种对称---循环对称。

对于下图所给的式子，如果把x替换成y，y替换成z，z替换成x，所得表达式和下式是恒等的。

登录 · 发表于 2021-5-26 17:32

本帖最后由 xukun977 于 2021-5-26 19:14 编辑

对于下式，相对于字母b1、b2和b3来说，明显是对称的，不管交换哪两个字母，结果都不变：

既然这个表达式是对称的，那么可以事先判断出，这个式子的转换结果，仍旧是对称的。

不过具体展开之前，我们需要一个定理--------这个多项式之积的展开结果，是每一个多项式中选择一项作积，再对所有的积求和！

根据这个定理，如果每个因式中取1个b，那么所有b之和，很明显是有n项：

既然只取1个b的项数是n，那么每次取两个b呢？

例如先取第一个b1，一共有上面已经得到的结论---n个项，然后取b2、b3.....然后乘积之和为：

这个总项数是n（n-1)

因为取首字母为第二个b2时，此时b2与b1、b3等之积，此时也会出现b2b1，这与第一次取到的b1b2相同，即重复一次。
与此类似，其它项都会重复一次，所以每个乘积不重复的项数是总项数除以2，即：

n(n-1)/2

与这个过程完全雷同，可以证明出取3个字母的不重复项数是：

n(n-1）（n-2）/(1*2*3)

发表于 2021-5-26 19:18

有的同志想不明白了----我记住二项式定理结论就行了，就可以套公式了，为何知道推导过程？？

原因太简单了，不加理解的死记硬背，最多一周就忘个7788了，一年过后，整本书又要拿过来复习一遍。

而如果第一次就真正的理解推导过程，大学毕业后很多年也不会忘的。
即便是忘记公式内容，稍微根据理解，重新推导一下就立马全有了。

发表于 2021-5-27 14:54

复习二项式定理

本帖子中包含更多资源

相关帖子

本帖子中包含更多资源

本帖子中包含更多资源

浏览过的版块

坚毅之洋流

核心会员奖章

十世金身

技术导师奖章