看图识字——振动（“小位移”和“大位移”）

2万 · 2016-1-3 15:10

电路里有振荡，而力学里则通常称那类似的玩意儿为振动，动者可视也。

2万 · 2016-1-3 15:12

上一幅图：

2万 · 2016-1-3 15:29

这图估计都能看懂，这里需要说明几点：

一）那是个线性系统，表现在Fs=-kx和Fd=-cv，其中k和c与x及v无关。

二）仅有x0这点可能是稳定点。具体稳定与否，需看具体情况（由m、k和c确定）。

注：所谓稳定，是指在一定的初始条件或扰动后，系统趋于某一个状态。如果系统不能趋于任意一个状态，则称系统为不稳定。

2万 · 2016-1-3 15:38

线性系统的研究可以说是完全成熟，譬如上图所示系统的稳定性分析。

下面给点变化，看图：

2万 · 2016-1-3 15:45

这里，不考虑阻尼（c=0）。注意此处的Fs=f(x)是条折线。那么红线还是原来的情形，而绿线部分变了。

思考一下，什么范围内与前图一致，什么范围内非线性但还能振动，而什么范围内“出界”了。

2万 · 2016-1-3 15:48

下面这个玩意儿都应该知道，那是个单摆：

注意那条红线。

2万 · 2016-1-3 15:58

这个，各位也可以看一下，什么情况下是通常意义下的单摆振动（不管其摆幅大小），什么情况下“出界”了（不再是个单摆）。

注：关于单摆，当摆幅比较小时，可以作适当的线性近似以简化计算。具体可按误差指标确定其具体摆幅。

2万 · 2016-1-3 16:12

若吊绳长度远远小于地球半径，基本上没问题。若吊绳长度已经大到与地球半径同数量级，那小幅摆动是简谐运动，大幅度摆动的话就不是了，大到什么程度呢？看能接受小球荡高后万有引力下降的程度

2万 · 2016-1-3 16:18

由此可见，振动（或振荡）的线性近似是某一状态点（通常是个可能稳定的状态）附近的一阶近似（忽略一阶以上的项）。由于忽略了高阶项，导致系统信息的缺失，越是远离那个状态点其近似线性系统与原系统差异越大。如果不对原非线性系统作适当的限制，所谓的线性近似几乎没什么价值！

因此，根据实际情况通常对系统的非线性特性有一个大致的分类，并按照各类不同的情况做不同的分析。

具体建议查阅相关资料。