数值分析

2．3求解常微分方程式  

  MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition')，其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y)，且须以Dy代表一阶微分项y'　D2y代表二阶微分项y''　，   

condition则为初始条件。     

假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件     

y'=3x2, y(2)=0.5   

y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25      

y'=3y+exp(2x), y(0)=3   

对应上述常微分方程式的符号运算式为：      

>>soln_1 = dsolve('Dy =3*x^2','y(2)=0.5')      

ans= x^3-7.500000000000000     

>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相     

>>soln_2 = dsolve('Dy =2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4')      

ans= atan(x^2+1)   

>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y +exp(2*x)',' y(0) = 3')      

ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x)   

2．4非线性方程式的实根  

    要求任一方程式的根有三步骤：   

    先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态，例如一方程式为sin(x)=3，

则该方程式应表示为f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。  

    代入适当范围的 x, y(x) 值，将该函数的分布图画出，藉以了解该方程式的「长相」。

    由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交，以fzero的语法fzero('function',x0)即可求出在 x0附近的根，其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个，则须再代入另一个在根附近的 x0，再求出下一个根。  

    以下分别介绍几数个方程式，来说明如何求解它们的根。

    例一、方程式为  

   sin(x)=0  

    我们知道上式的根有 ，求根方式如下：  

>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数，其名称为sin，因此无须定义它,选择 x=3 附近求根  

r=3.1416  

>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根  

r = 6.2832

    例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps，我们不须要知道这个方程式的形态为何，不过我们可以将它划出来，再找出根的位置。求根方式如下：  

>> x=linspace(-2,3);  

>> y=humps(x);  

>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根

>> r=fzero('humps',1.2)  

r = 1.2995

例三、方程式为y=x.^3-2*x-5  

    这个方程式其实是个多项式，我们说明除了用 roots 函数找出它的根外，也可以用这节介绍的方法求根，注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下：  

% m-function, f_1.m  

function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数  

y=x.^3-2*x-5;

>> x=linspace(-2,3);  

>> y=f_1(x);  

>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根

>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根  

r = 2.0946  

>> p=[1 0 -2 -5]  

>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证  

r =  

2.0946  

-1.0473 + 1.1359i   

-1.0473 - 1.1359i  

2．5线性代数方程（组）求解

    我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下  

    AX=B  

其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项

要解上述的联立方程式，我们可以利用矩阵左除 \ 做运算，即是 X=A\B。  

    如果将原方程式改写成 XA=B

其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项

    注意上式的 X, B 已改写成列向量，A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解，即是 X=B/A。  

    若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B，即是 X=inv(A)*B，或是改写成 XA=B, X=B，即是X=B*inv(A)。  

    我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法：  

>> A=[3 2-1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入  

>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入，B要做转置  

>> X=A\B % 先以左除运算求解  

X = % 注意X为行向量  

-2  

5  

6  

>> C=A*X % 验算解是否正确  

C = % C=B  

10  

5  

-1

>> A=A'; % 将A先做转置  

>> B=[10 5 -1];  

>> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同  

X = % 注意X为列向量  

10 5  -1  

>> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解