菜农三角命题(菜农三角定理)

2万 · 2009-12-3 23:11

菜农三角命题(菜农三角定理)
在任意直角三角形中，当短直角边边长为整数且大于等于3时，
必存在一对边长差值为1或2的整数长直角边和斜边。
当短直角边边长为奇数时，差值为1，为偶数时，差值为2.

菜农HotPower@126.com 2009.12.3

2万 · 2009-12-4 08:41

设a为大于等于3的整数

1）a为奇数

则a^2也为奇，令a^2 = 2 b + 1，有

a^2 = 2 b + 1
         = (2 b + 1)  1
         = (b + 1 + b) (b + 1 - b)
         = (b + 1)^2 - b^2

2）a为偶数

则a^2也为含因数4，令a^2 = (2 b + 2) 2，有

a^2 = ( 2 b + 2 ) 2
         = ( b + 2  + b) (b + 2 - b)
         = (b + 2)^2 - b^2

昨晚给女儿看了一下，没想到被她鄙视了一回。

1万 · 2009-12-4 09:12

晕，1，2楼的东西~~~~~~~~~~~~~~~
哎~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

2万 · 2009-12-4 13:05

本帖最后由 HWM 于 2009-12-4 13:07 编辑

既然“存在性”不好玩，那就看看“唯一性”。留个“猜想”在此：

1）a 为大于等于3的奇数，若存在下式：
(2 b + k ) k = a^2
且a 和 b 互质，则k一定为1否？

2）a 为大于等于4的偶数，若存在下式：
(2 b + k ) k = a^2
且a 和 b 互质，则k一定为2否？

只看该作者 · 2009-12-4 17:32

下面这两个描述不但是命题，同时也是证明（将描述的内容演算即可证明）。

1：任意一个大于1的奇数2n+1(n＞0)为边也可以构成勾股数，其三边分别是2n+1、2(n^2)+2n、2(n^2)+2n+1，

2：对于大于2的任意偶数2n(n＞1)，都可构成一组勾股数，三边分别是：2n、n^2-1、n^2+1

2万 · 2009-12-5 18:41

本帖最后由 HWM 于 2009-12-5 18:58 编辑

就此倒塌吧

a = 105 = 3 * 5 * 7
b = 608 = 32 * 19
c = 617

a，b 互质。有c - b = 9

2万 · 2009-12-5 18:58

关于“倒塌三角形”的寻找：

原本想考察 (2 b + k ) k = a^2 中 k 的唯一性（等于1）。结果发现在a和b互质的条件下，k = q^2（其中q为a的某个因数），由此想着构造一个反例。首先设定 a = 3*5*7，这样可设想k = 3^2，便求得 b = 608，c = 617，而 k = c - b = 9。

彻底倒塌了！

2万 · 2009-12-6 22:14

6# icmap

下面这两个描述不但是命题，同时也是证明（将描述的内容演算即可证明）。

1：任意一个大于1的奇数2n+1(n＞0)为边也可以构成勾股数，其三边分别是2n+1、2(n^2)+2n、2(n^2)+2n+1，

2：对于大于2的任意偶数2n(n＞1)，都可构成一组勾股数，三边分别是：2n、n^2-1、n^2+1

与菜农的命题完全一致。只是表述不同

菜农三角命题(菜农三角定理)

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