@xukun977
薛定谔方程和经典力学（我宁可说是经典力学）的关系，还是用分析力学中的拉格朗日力学和哈密顿力学和其对应起来比较好。
首先：
经典力学最初的表述形式由牛顿建立，它着重于分析位移，速度，加速度，力等矢量间的关系，又称为矢量力学。拉格朗日引入了广义坐标的概念，又运用达朗贝尔原理，求得与牛顿第二定律等价的拉格朗日方程。不仅如此，拉格朗日方程具有更普遍的意义，适用范围更广泛。还有，选取恰当的广义坐标，可以大大地简化拉格朗日方程的求解过程。
牛顿力学需要受力分析的复杂过程，而拉格朗日力学和哈密顿力学则需分析能量的具体表述和束缚条件。
哈密顿力学（基于能量和）是拉格朗日力学（基于能量差）推导出来的。而拉格朗日力学是牛顿力学的重新表述，其根基（最小作用量原理和欧拉-拉格朗日方程）等价于牛顿第二定律。
拉格朗日方程的地位等同于牛顿力学中的牛顿第二定律。但具有更普遍的意义。
所以，对比经典力学和量子力学的薛定谔方程，还是主要对比哈密顿力学和波动方程（薛定谔方程）比较合适。
哈密顿力学是哈密顿于1833年建立的经典力学的重新表述，它由拉格朗日力学演变而来。拉格朗日力学是经典力学的另一表述，由拉格朗日于1788年建立。哈密顿力学与拉格朗日力学不同的是前者可以使用辛空间而不依赖于拉格朗日力学表述。关于这点请参看其数学表述。
哈密顿量 H {\displaystyle H} H可以通过对拉格朗日量进行勒让德变换得到。哈密顿量是经典力学的另一种表述哈密顿力学的基础。拉格朗日量可以视为定义在所有广义坐标可能值组成的组态空间的切丛上的函数，而哈密顿量是相对应的余切丛上的函数。哈密顿量在量子力学中到处出现（参看哈密顿算符 (量子力学)）。
1948年，费曼发明了路径积分表述，将最小作用量原理扩展到量子力学。在该表述中，粒子穿过所有可能的始态和终态的所有路径；特定终态的概率是所有可能导向它的轨迹的概率之和。在经典力学的范围，路径积分表述简单的退化为哈密顿原理。
当然第一步是找一个Hamiltonian使得运动方程是上面的BS方程。首先注意到这个方程是欧拉方程，因此做代换，我们知道要求的哈密顿量必须满足下面的BS-薛定谔方程：
我们经过推导可以得到。
我们看到，上面的哈密顿量与封闭系统的哈密顿量相比多出了一个正比于速度的漂移项，因此这个哈密顿量不是厄米的。但是我们量子力学中间推导传播子的方法依然有效。在狄拉克符号下我们有： 。因此如果给定了系统的初值，在这里用这个方法就可以得到系统在任意时刻的状态。更具体的说，我们可以对角化哈密顿量，然后求出本征值和本征函数，就能得到方程的严格解(在给定初值初条件的情况下)。
一个最简单的例子是欧式看涨期权(down and out option)，如果其中为常数，那么期权价值就归零了。在物理上这对应着一个无限深方势井的波函数，在势井外波函数为零，在势井内波函数自由传播。于是我们引进势能, 并且在时势能为常数，这样就把原来的问题转化为了一个最简单的量子力学问题，我们按照通常的量子力学方法求解的薛定谔方程就可以得到原来方程的解。
但是，一般来说非线性的哈密顿量不一定能够被严格对角化(BS因为是一个高斯型所以可以严格对角化)，因此我们只能够比较数值的研究这个问题。如果对场论比较熟悉的话就会发现随机过程正适合用路径积分来表达，因此就需要尝试用路径积分的方法来重新表述上面的问题。在下面的例子中会大概演示一下如何用路径积分的方法来求解郎之万方程。
方程形如
其中第二项是系统的白噪声。路径积分需要的是力学的拉格朗日表述，因此首先需要求出系统的拉格朗日量。我们大概知道系统的作用量是正比于噪声的模方的，因此我们的路径积分形如
其中delta函数来约束两个随机变量。我们把R做替换就能得到一个只含有r的作用量。
对于特殊形式的郎之万方程可以求出严格解。比如在Vasicek model中
，其中没有自变量的量都为常数，系统初值为。
总之经过运算我们就解出来了严格的路径积分也就是知道了传播子。
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