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约瑟夫问题

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玛尼玛尼哄|  楼主 | 2016-10-31 12:34 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
se, os
问题来历[url=]编辑[/url]
据说著名犹太历史学家 Josephus有过以下的故事:在罗马人占领乔塔帕特后,39 个犹太人与Josephus及他的朋友躲到一个洞中,39个犹太人决定宁愿死也不要被敌人抓到,于是决定了一个自杀方式,41个人排成一个圆圈,由第1个人开始报数,每报数到第3人该人就必须自杀,然后再由下一个重新报数,直到所有人都自杀身亡为止。然而Josephus 和他的朋友并不想遵从。首先从一个人开始,越过k-2个人(因为第一个人已经被越过),并杀掉第k个人。接着,再越过k-1个人,并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行,直到最终只剩下一个人留下,这个人就可以继续活着。问题是,给定了和,一开始要站在什么地方才能避免被**?Josephus要他的朋友先假装遵从,他将朋友与自己安排在第16个与第31个位置,于是逃过了这场死亡游戏。[1]
17世纪的法国数学家加斯帕在《数目的游戏问题》中讲了这样一个故事:15个教徒和15 个非教徒在深海上遇险,必须将一半的人投入海中,其余的人才能幸免于难,于是想了一个办法:30个人围成一圆圈,从第一个人开始依次报数,每数到第九个人就将他扔入大海,如此循环进行直到仅余15个人为止。问怎样排法,才能使每次投入大海的都是非教徒。
*问题分析与算法设计
约瑟夫问题并不难,但求解的方法很多;题目的变化形式也很多。这里给出一种实现方法。
题目中30个人围成一圈,因而启发我们用一个循环的链来表示,可以使用结构数组来构成一个循环链。结构中有两个成员,其一为指向下一个人的指针,以构成环形的链;其二为该人是否被扔下海的标记,为1表示还在船上。从第一个人开始对还未扔下海的人进行计数,每数到9时,将结构中的标记改为0,表示该人已被扔下海了。这样循环计数直到有15个人被扔下海为止。

沙发
玛尼玛尼哄|  楼主 | 2016-10-31 12:34 | 只看该作者
一般形式

约瑟夫问题是个有名的问题:N个人围成一圈,从第一个开始报数,第M个将被杀掉,最后剩下一个,其余人都将被杀掉。例如N=6,M=5,被杀掉的顺序是:5,4,6,2,3,1。
分析:
(1)由于对于每个人只有死和活两种状态,因此可以用布朗型数组标记每个人的状态,可用true表示死,false表示活。
(2)开始时每个人都是活的,所以数组初值全部赋为false。
(3)模拟杀人过程,直到所有人都被杀死为止。

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板凳
玛尼玛尼哄|  楼主 | 2016-10-31 12:35 | 只看该作者
#include<iostream>
using namespace std;
main()
{
    bool a[101]={0};
    int n,m,i,f=0,t=0,s=0;
    cin>>n>>m;
    do
    {
        ++t;//逐个枚举圈中的所有位置
        if(t>n)
            t=1;//数组模拟环状,最后一个与第一个相连
        if(!a[t])
            s++;//第t个位置上有人则报数
        if(s==m)//当前报的数是m
        {
            s=0;//计数器清零
            cout<<t<<'';//输出被杀人编号
            a[t]=1;//此处人已死,设置为空
            f++;//死亡人数+1
        }
    }while(f!=n);//直到所有人都被杀死为止


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地板
玛尼玛尼哄|  楼主 | 2016-10-31 12:36 | 只看该作者
无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点:要模拟整个游戏过程,不仅程序写起来比较烦,而且时间复杂度高达O(nm),当n,m非常大(例如上百万,上千万)的时候,几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号,而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率,就要打破常规,实施一点数学策略。
为了讨论方便,先把问题稍微改变一下,并不影响原意:
问题描述:n个人(编号0~(n-1)),从0开始报数,报到(m-1)的退出,剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。
我们知道第一个人(编号一定是(m-1)) 出列之后,剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环(以编号为k=m mod n的人开始):
k k+1 k+2 ... n-2,n-1,0,1,2,... k-2
并且从k开始报0。
我们把他们的编号做一下转换:
k --> 0
k+1 --> 1
k+2 --> 2
...
...
k-2 --> n-2
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题,假如我们知道这个子问题的解:例如x是最终的胜利者,那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗?!!变回去的公式很简单,相信大家都可以推出来:x'=(x+k) mod n
如何知道(n-1)个人报数的问题的解?对,只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢?当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题!好了,思路出来了,下面写递推公式
令f表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号,最后的结果自然是f[n]
递推公式
f[1]=0;
f=(f+m) mod i; (i>1)
有了这个公式,我们要做的就是从1-n顺序算出f的数值,最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始,我们输出f[n]+1
由于是逐级递推,不需要保存每个f,程序也是异常简单:

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玛尼玛尼哄|  楼主 | 2016-10-31 12:37 | 只看该作者
#include <iostream>
using namespace std;
const int m = 3;
int main()
{
    int n, f = 0;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) f = (f + m) % i;
    cout << f + 1 << endl;
}
这个算法的时间复杂度为O(n),相对于模拟算法已经有了很大的提高。算n,m等于一百万,一千万的情况不是问题了。可见,适当地运用数学策略,不仅可以让编程变得简单,而且往往会成倍地提高算法执行效率。

约瑟夫问题10e100版(from vijios)
描述 Description
n个人排成一圈。从某个人开始,按顺时针方向依次编号。从编号为1的人开始顺时针“一二一”报数,报到2的人退出圈子。这样不断循环下去,圈子里的人将不断减少。由于人的个数是有限的,因此最终会剩下一个人。试问最后剩下的人最开始的编号。
输入格式 Input Format
一个正整数n,表示人的个数。输入数据保证数字n不超过100位。
输出格式 Output Format
一个正整数。它表示经过“一二一”报数后最后剩下的人的编号。
样例输入 Sample Input
9
样例输出 Sample Output
3
时间限制 Time Limitation
各个测试点1s
注释 Hint
样例说明
当n=9时,退出圈子的人的编号依次为:
2 4 6 8 1 5 9 7
最后剩下的人编号为3
初见这道题,可能会想到模拟。可是数据实在太大啦!!
我们先拿手来算,可知n分别为1,2,3,4,5,6,7,8...时的结果是1,1,3,1,3,5,7,1...
有如下规律:从1到下一个1为一组,每一组中都是从1开始递增的奇数,且每组元素的个数分别为1,2,4...
这样就好弄了!!
大体思路如下:
①read(a)
②b:=1,c:=1{b为某一组的元素个数,c为累计所加到的数}
③while c<a do (b:=b*2,c:=b+c){超过目标时停止加数}
⑥c:=c-b{退到前一组}
⑦x:=a-c{算出目标为所在组的第几个元素}
⑧ans:=x*2-1{求出该元素}
⑨write(ans)
有了思路,再加上高精度就可以了。我写的代码比较猥琐,因为是先把上面的思路敲进去,再写过程,又把一些简单的过程合到主程序中了,所以有点乱,也有点猥琐。起提供思路的作用还是完全可以的吧~~~
var
  a,b,c:array[1..105]of longint;
  la,lb,lc,i:longint;
  s:string;
procedure incc;
var
  i:integer;
begin
  for i:=1 to 105 do
    c:=c+b;
  for i:=1 to 104 do
    if c>9 then
             begin
               c:=c+cdiv10;
               c:=c mod 10;
             end;
end;
functioncxiaoa:boolean;
vari:integer;
begin
cxiaoa:=false;
fori:=105downto1do
ifc<athenbegincxiaoa:=true;break;end
elseifc>athenbreak;
end;
proceduredoubleb;
vari:integer;
begin
fori:=1to105dob:=b*2;
fori:=1to104doifb>9then
begin
b:=b+bdiv10;
b:=bmod10;
end;
end;
proceduredecc;
vari,j:integer;
begin
fori:=1to104do
ifc>=bthenc:=c-belse
begin
j:=i+1;
whilec[j]=0doinc(j);
whilej>ido
begin
c[j]:=c[j]-1;
c[j-1]:=c[j-1]+10;
dec(j);
end;
c:=c-b;
end;
end;
procedurefua;
vari:integer;
begin
fori:=1to104do
ifa>cthena:=a-celse
begin
a:=a-1;
a:=a+10;
a:=a-c;
end;
end;
procedureoutit;
vari,j:integer;
begin
fori:=1to105doa:=a*2;
fori:=1to104doifa>9then
begin
a:=a+adiv10;
a:=amod10;
end;
ifa[1]>0thena[1]:=a[1]-1else
begin
j:=2;
whilea[j]=0doinc(j);
whilej>1do
begin
a[j]:=a[j]-1;
a[j-1]:=a[j-1]+10;
dec(j);
end;
a[1]:=a[1]-1;
end;
fori:=105downto1doifa>0thenbeginj:=i;break;end;
fori:=jdownto1dowrite(a);
end;
begin
readln(s);
la:=length(s);
fori:=ladownto1doa:=ord(s[la+1-i])-ord('0');
b[1]:=1;
c[1]:=1;
whilecxiaoado
begin
doubleb;
incc;
end;
decc;
fua;
outit;
end.



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玛尼玛尼哄|  楼主 | 2016-10-31 12:38 | 只看该作者
猴子选王


问题表述
一. 问题描述:
一堆猴子都有编号,编号是1,2,3 ...m,这群猴子(m个)按照1-m的顺序围坐一圈,从第1开始数,每数到第N个,该猴子就要离开此圈,这样依次下来,直到圈中只剩下最后一只猴子,则该猴子为大王。
约瑟夫
"密码问题"
问题描述:编号为1、2、3、...、N的N个人按顺时针方向围坐一圈,每人持有一个密码(正整数)。从指定
编号为1的人开始,按顺时针方向自1开始顺序报数,报到指定数M时停止报数,报M的人出列,并将
他的密码作为新的M值,从他在顺时针方向的下一个人开始,重新从1报数,依此类推,直至所有的
人全部出列为止。请设计一个程序求出出列的顺序,其中N≤30,M及密码值从键盘输入。
二. 基本要求:
(1) 输入数据:输入m,n m,n 为整数,n<m
(2)中文提示按照m个猴子,数n 个数的方法,输出为大王的猴子是几号 ,建立一个函数来实现此功能

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玛尼玛尼哄|  楼主 | 2016-10-31 12:39 | 只看该作者
#include <stdio.h>
#include <malloc.h>
#defineLENsizeof(structmonkey)//定义structmonkey这个类型的长度
struct monkey
{
int num;
struct monkey *next;
};
struct monkey *create(int m)
{
struct monkey *head,*p1,*p2;
inti;
p1=p2=(struct monkey*)malloc(LEN);
head=p1;
head->num=1;
for(i=1,p1->num=1;i<m;i++)
{
p1=(struct monkey*)malloc(LEN);
p1->num=i+1;
p2->next=p1;
p2=p1;
}
p2->next=head;
return head;
}
struct monkey *findout(struct monkey *start,int n)
{
int i;
struct monkey *p;
i=n;
p=start;
for(i=1;i<n-1;i++)
p=p->next;
return p;
}
struct monkey *letout(struct monkey *last)
{
struct monkey *out,*next;
out=last->next;
last->next=out->next;
next=out->next;
free(out);
return next;
}
int main()
{
int m,n,i,king;
struct monkey *p1,*p2;
printf("请输入猴子的个数m:\n");
scanf("%d",&m);
printf("每次数猴子的个数n:\n");
scanf("%d",&n);
if(n==1)
{
king=m;
}
else
{
p1=p2=create(m);
for(i=1;i<m;i++)
{
p2=findout(p1,n);
p1=p2;
p2=letout(p1);
p1=p2;
}
king=p2->num;
free(p2);
}
printf("猴王的编号是:%d\n",king);
return 0;
}
//猴子选大王问题(约瑟夫环问题)
 #include<stdio.h>
 #include<string.h>
 #include<stdlib.h>
 intfre(ch**[],intk)
 {
 inti;
 printf("\n猴子编号:\n");
 for(i=0;mok[i]!='\0';i++)
 printf("%d\t",mok[i]);//输出为踢出之前的编号,测试用
 for(i=k;mok[i]!='\0';i++)
 {
 mok[i]=mok[i+1];
 }//一个循环,将k以后的元素前移
 putchar('\n');
 for(i=0;mok[i]!='\0';i++)
 printf("%d\t",mok[i]);//输出踢出之后的编号,测试用
 printf("\n按回车继续下一轮:\n");
 getch();//暂停,测试用
 return0;
 }
 int main()
 {
 ch**[50];
 int i;
 int n,s,b;//n表示猴子总数;s表示步进;b表示元素个数及大王编号
 int j,k;//j,k都是计数器
 mok[0]=1;//初始化mok[0],让后面编号更简单的进行
 printf("请输入猴子的总数:\n");
 scanf("%d",&n);//输入猴子的总数
 for(i=1;i<n;i++)
 {
 mok[i]=i+1;
 }//对猴子进行编号
 mok[n]='\0';//用0来表示数组的结尾
 printf("请输入循环单位:\n");
 scanf("%d",&s);//单位长度
 b=n;//统计猴子的个数
 for(j=1,k=0;;j++,k++)
 {
 if(b==1)
 {
 b=mok[0];
 break;
 }//如果元素只剩下一个,那么退出循环
 if(j==s)
 {
 printf("\n它出列了:%d\n",mok[k]);
 fre(mok,k);//用于元素前移的函数
 b--;
 j=1;
 }//将猴子从数组中踢出,并重置计数器J。
 if(mok[k+1]=='\0')
 k=-1;//重置计数器k,因为后面有k++所以k要在重置基础上-1.
 }//判断是否为数组最后元素,重置计数器k。
 printf("\n最终大王是他:%d\n",b);
 return0;
 }
#include<stdio.h>
#include<malloc.h>
int main()
{
int *person,i,node,n,m;
scanf("%d%d",&n,&m);
person=(int*)malloc(sizeof(int)*(n+1));
for(i=1;i<=n;i++)//初始化圈
{
person[i]=i+1;//i表示编号为i的人,person[i]的值表示编号为i的人的下一个人的编号
}
person[n]=1;//编号为n的下一个人的编号是1
node=1;
while(node!=person[node])//如果某个人的下一个人不是自己,意味着人数超过1人
{
for(i=1;i<m-1;i++)//这个循环终止于被杀的人的前一个人
{
node=person[node];//下一个人的编号为node,node的值来自于前一个人的person[node]
}
printf("%d",person[node]);//输出被杀的人编号
person[node]=person[person[node]];//修改被杀的人的前一个人的person[node]为被杀的人的后一个人的编号
node=person[node];//这句话中的node是被杀的人后一个人
}
printf("%d",node);//输出最后幸存者的编号
return 0;
}


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玛尼玛尼哄|  楼主 | 2016-10-31 12:40 | 只看该作者
笔算解决
笔算解决约瑟夫问题
在M比较小的时候 ,可以用笔算的方法求解,
M=2
即N个人围成一圈,1,2,1,2的报数,报到2就去死,直到只剩下一个人为止。
当N=2^k的时候,第一个报数的人就是最后一个死的,
对于任意的自然数N 都可以表示为N=2^k+t,其中t<n/2
于是当有t个人去死的时候,就只剩下2^k个人 ,这2^k个人中第一个报数的就是最后去死的。这2^k个人中第一个报数的人就是2t+1
于是就求出了当M=2时约瑟夫问题的解:
求出不大于N的最大的2的整数次幂,记为2^k,最后一个去死的人是2(N-2^k)+1
M=3
即N个人围成一圈,1,2,3,1,2,3的报数,报到3就去死,直到只剩下一个人为止。
此时要比M=2时要复杂的多
我们以N=2009为例计算
N=2009,M=3时最后被杀死的人记为F(2009,3),或者可以简单的记为F(2009)
假设这种情况下还剩下n个人,则下一轮将杀死[n/3]个人,[]表示取整,还剩下n-[n/3]个人
设这n个人为a1,a2,...,a(n-1),an
从a1开始报数,一圈之后,剩下的人为a1,a2,a4,a5,...a(n-n mod 3-1),a(n-n mod 3+1),..,an
于是可得:
1、这一轮中最后一个死的是a(n-n mod 3),下一轮第一个报数的是a(n-n mod 3+1)
2、若3|n,则最后死的人为新一轮的第F(n-[n/3])个人
若n mod 3≠0 且f(n-[n/3])<=n mod 3则最后死的人为新一轮的第n-[n/3]+F(n-[n/3])-(n mod 3)人
若n mod 3≠0 且f(n-[n/3])>n mod 3则最后死的人为新一轮的第F(n-[n/3])-(n mod 3)人
3、新一轮第k个人对应原来的第 3*[(k-1)/2]+(k-1)mod 2+1个人
综合1,2,3可得:
F(1)=1,F(2)=2,F(3)=2,F(4)=1,F(5)=4,F(6)=1,
当f(n-[n/3])<=n mod 3时 k=n-[n/3]+F(n-[n/3])-(n mod 3),F(n)=3*[(k-1)/2]+(k-1)mod 2+1
当f(n-[n/3])>n mod 3时 k=F(n-[n/3])-(n mod 3) ,F(n)=3*[(k-1)/2]+(k-1)mod 2+1
这种算法需要计算 [log(3/2)2009]次 这个数不大于22,可以用笔算了
于是:
第一圈,将杀死669个人,这一圈最后一个被杀死的人是2007,还剩下1340个人,
第二圈,杀死446人,还剩下894人
第三圈,杀死298人,还剩下596人
第四圈,杀死198人,还剩下398人
第五圈,杀死132人,还剩下266人
第六圈,杀死88人,还剩下178人
第七圈,杀死59人,还剩下119人
第八圈,杀死39人,还剩下80人
第九圈,杀死26人,还剩下54人
第十圈,杀死18人,还剩36人
十一圈,杀死12人,还剩24人
十二圈,杀死8人,还剩16人
十三圈,杀死5人,还剩11人
十四圈,杀死3人,还剩8人
十五圈,杀死2人,还剩6人
F(1)=1,F(2)=2,F(3)=2,F(4)=1,F(5)=4,F(6)=1,
然后逆推回去
F(8)=7 F(11)=7 F(16)=8 f(24)=11 f(36)=16 f(54)=23 f(80)=31 f(119)=43 f(178)=62 f(266)=89 f(398)=130
F(596)=191 F(894)=286 F(1340)=425 F(2009)=634

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zhuotuzi| | 2016-10-31 18:46 | 只看该作者
学习一下,这个链表怎么玩算法的。

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734774645| | 2016-10-31 22:52 | 只看该作者
可以开发个单片机系统,专门留着遇到这个情况时候用。哈哈

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