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1.在二维平面中：如下图所示，在xoy平面中有一向量op⃗ =(x,y)T，旋转ϕ角后变为向量op⃗ ′=(x′,y′)T。
据图可得：x=|op⃗ |cosθ；y=|op⃗ |sinθ，经旋转ϕ角后有:
x′=|op⃗ |cos(θ+ϕ)=|op⃗ |(cosθcosϕ−sinθsinϕ)=xcosϕ−ysinϕ
y′=|op⃗ |sin(θ+ϕ)=|op⃗ |(sinθcosϕ+cosθsinϕ)=xsinϕ+ycosϕ；
写成矩阵形式：
(x′y′)=(cosϕsinϕ−sinϕcosϕ)(xy)
2.在三维空间中：如下图所示，若以坐标系的三个坐标轴X、Y、Z分别作为旋转轴，则点实际上只在垂直坐标轴的平面上作二维旋转。
例： op⃗ 绕X轴旋转ϕ角，有：
旋转前：
旋转后：
写成矩阵形式：
则绕X轴旋ϕ角的旋转矩阵为： Rx(ϕ)=（1000cosϕ−sinϕ0sinϕcosϕ）
同理可得绕X、Y、Z轴旋转的不同角度的旋转矩阵（方向余弦矩阵）分别为：
最后，若op⃗ 绕某一定轴旋转，从欧拉定律中可知，绕着固定轴做一个角值的旋转，可以被视为分别以坐标系的三个坐标轴X、Y、Z作为旋转轴的旋转的叠加。
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