【转】卡尔曼滤波器算法

只看该作者 · 2017-1-7 12:23

在这一部分，我们就来描述源于Dr Kalman 的卡尔曼滤波器。下面的描述，会涉及一些基本的概念知识，包括概率（Probability），随即变量（Random Variable），高斯或正态分配（Gaussian Distribution）还有State-space Model等等。但对于卡尔曼滤波器的详细证明，这里不能一一描述。

首先，我们先要引入一个离散控制过程的系统。该系统可用一个线性随机微分方程（Linear Stochastic Difference equation）来描述，我们结合下面PPT截图进行说明：

上两式子中，x(k)是k时刻的系统状态，u(k)是k时刻对系统的控制量。A和B是系统参数，对于多模型系统，他们为矩阵。y(k)是k时刻的测量值，H是测量系统的参数，对于多测量系统，H为矩阵。q(k)和r(k)分别表示过程和测量的噪声。他们被假设成高斯白噪声(White Gaussian Noise)，他们的covariance分别是Q，R（这里我们假设他们不随系统状态变化而变化）。

对于满足上面的条件(线性随机微分系统，过程和测量都是高斯白噪声)，卡尔曼滤波器是最优的信息处理器。先给出KF算法的流程和五个核心更新方程如下：

KF算法

五个更新方程为：

编写公式不方便，所以写成了PDF然后做了截图粘在了下面，下面就上面的例子和五个核心的公式对Kalman算法进行下说明：

就这样，算法就可以自回归的运算下去。

看到这聪明的同学可能已经看出来了，问道卡尔曼增益为什么会是第三步中那样求，现在只大致说一下原理，具体推到比较复杂，有兴趣的同学可以参考这文献去推一推。
还记得前面我们说的误差协方差矩阵$P_k$么，即求第k次最优温度的误差协方差矩阵，对应于上例中的3和3.12....这些值。看下面PPT，我们最小化P即可得到卡尔曼增益K，对应上例求解K只最小化最优温度值的偏差，即最小化P(K)：

我们由第四步可以看出，k时刻系统的最优温度值=k-1时刻状态估计值（由上一状态的最优温度值加上过程误差）+带卡尔曼增益权值项的偏差。如果观测误差远远大于估计误差，那么K就很小，k时刻的预测值约等于k时刻的状态估计值，如果对i时刻的状态估计值误差远远大于观测误差，此时相应的q较大，K较大，i时刻的状态估计值更倾向于观察的数据。

卡尔曼滤波器的原理基本描述就完成了，希望能帮助大家理解这这5个公式，其算法可以很容易的用计算机的程序实现。