一种神奇的开方计算方法

1万 · 2017-5-29 11:33

Quake III公开源码后，有人在game/code/q_math.c里发现了这样一段代码。

它的作用是将一个数开平方并取倒，经测试这段代码比(float)(1.0/sqrt(x))快4倍：

float Q_rsqrt( float number ){
long i;
float x2, y;
const float threehalfs = 1.5F;

  x2 = number * 0.5F;
y  = number;
i  = * ( long * ) &y;  // evil floating point bit level hacking
i  = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the fuck?
y  = * ( float * ) &i;
y  = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration
// y  = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed
return y;
}

经过验证，的确可以实现开方的功能，且精度很好。单

看代码，很费解的，把一个浮点数的内存数据往右移

一位，是个啥鬼东西？费解。然后再用0x5f3759df这个

诡异的数字去减掉这个移位出来的数字，是个啥玩意？

然后再把这个结果当作一个浮点数来看，又是个什么鬼？

就最后那两次迭代能看懂，但也不是随便就能推出来的。

下面这篇**有详细的推导过程和扩展方法，值得一看。

http://m.blog.csdn.net/article/details?id=49535161&from=timeline

只看该作者 · 2017-5-29 12:58

有意思

1万 · 2017-5-29 14:21

dandantcb 发表于 2017-5-29 12:58
有意思

那是，一般人我不告诉他~~~

只看该作者 · 2017-5-29 23:59

据说SSE指令集里，快速求平方根倒数的(V)RSQRT[P/S]也是用的这个算法。

只看该作者 · 2017-5-30 01:10

虽然没看懂但是很厉害

1万 · 2017-5-30 14:34

kao, 浮点数，归一化后为 1.x * 2^e ，归一化成1.x 后，才有了这个特点。比读书的时候做的汇编浮点库要快。

1万 · 2017-5-30 17:57

后面看

只看该作者 · 2017-5-31 20:56

神奇的时代的神奇代码

只看该作者 · 2017-6-1 08:38

这段代码是参考手工开平方运算方法得到的
具体要参考数学书
浮点数移位很正常，其实与整形没有差别

1万 · 2017-6-1 09:10

steelen 发表于 2017-6-1 08:38
这段代码是参考手工开平方运算方法得到的
具体要参考数学书
浮点数移位很正常，其实与整形没有差别 ...

那你能说说浮点数移位是什么意思么？和整形没差别？
例如float x = 16;移位完后是个啥玩意？

只看该作者 · 2017-6-1 15:07

仔细体会体会数的结构
就会明白的

1万 · 2017-6-1 16:19

steelen 发表于 2017-6-1 15:07
仔细体会体会数的结构
就会明白的

能指点一下么？体会不出来……

只看该作者 · 2017-6-1 17:12

2009-06-10
John Carmack密码：0x5f3759df--Quake III的源代码分析 - [Code4Fun]
版权声明：转载时请以超链接形式标明**原始出处和作者信息及本声明
【此处原文连接，论坛不让用，删除】

有人在Quake III的源代码里面发现这么一段用来求平方根的代码:

/*================SquareRootFloat================*/

float SquareRootFloat(float number) {
long i;
float x, y;
const float f = 1.5F;
x = number * 0.5F;
y = number;
i = * ( long * ) &y;
i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); //注意这一行
y = * ( float * ) &i;
y = y * ( f - ( x * y * y ) );
y = y * ( f - ( x * y * y ) );
return number * y;
}

0x5f3759df？这是个什么东西？学过数值分析就知道，算法里面求平方根一般采用
的是无限逼近的方法，比如牛顿迭代法，抱歉当年我数值分析学的太烂，也讲不清楚
。简单来说比如求5的平方根，选一个猜测值比如2，那么我们可以这么算

5/2 = 2.5; 2.5+2/2 = 2.25; 5/2.25 = xxx; 2.25+xxx/2 = xxxx ...
这样反复迭代下去，结果必定收敛于sqrt(5)，没错，一般的求平方根都是这么算的
。而卡马克的不同之处在于，他选择了一个神秘的猜测值0x5f3759df作为起始，使得
整个逼近过程收敛速度暴涨，对于Quake III所要求的精度10的负三次方，只需要一
次迭代就能够得到结果。

好吧，如果这还不算牛b，接着看。

普渡大学的数学家Chris Lomont看了以后觉得有趣，决定要研究一下卡马克弄出来的
这个猜测值有什么奥秘。Lomont也是个牛人，在精心研究之后从理论上也推导出一个
最佳猜测值，和卡马克的数字非常接近, 0x5f37642f。卡马克真牛，他是外星人吗？

传奇并没有在这里结束。Lomont计算出结果以后非常满意，于是拿自己计算出的起始
值和卡马克的神秘数字做比赛，看看谁的数字能够更快更精确的求得平方根。结果是
卡马克赢了... 谁也不知道卡马克是怎么找到这个数字的。

最后Lomont怒了，采用暴力方法一个数字一个数字试过来，终于找到一个比卡马克数
字要好上那么一丁点的数字，虽然实际上这两个数字所产生的结果非常近似，这个暴
力得出的数字是0x5f375a86。

Lomont为此写下一篇论文，"Fast Inverse Square Root"。

John Carmack， ID的无价之宝。

//===============================================================

日前在书上看到一段使用多项式逼近计算平方根的代码，至今都没搞明白作者是怎样推算出那个公式的。但在尝试解决问题的过程中，学到了不少东西，于是便有了这篇心得，写出来和大家共享。其中有错漏的地方，还请大家多多指教。

的确，正如许多人所说的那样，现在有有FPU，有3DNow，有SIMD，讨论软件算法好像不合时宜。关于sqrt的话题其实早在2003年便已在 GameDev.net上得到了广泛的讨论（可见我实在非常火星了，当然不排除还有其他尚在冥王星的人，嘿嘿）。而尝试探究该话题则完全是出于本人的兴趣和好奇心（换句话说就是无知）。

我只是个beginner，所以这种大是大非的问题我也说不清楚（在GameDev.net上也有很多类似的争论）。但无论如何，Carmack在DOOM3中还是使用了软件算法，而多知道一点数学知识对3D编程来说也只有好处没坏处。3D图形编程其实就是数学，数学，还是数学。

**原本是用HTML编排的，所以只截取了部分有比较有趣的东西放在这里。原文在我的个人主页上，同时也提供了2篇论文的下载：【此处原文连接，论坛不让用，删除】

=========================================================

在3D图形编程中，经常要求平方根或平方根的倒数，例如：求向量的长度或将向量归一化。C数学函数库中的sqrt具有理想的精度，但对于3D游戏程式来说速度太慢。我们希望能够在保证足够的精度的同时，进一步提高速度。

Carmack在QUAKE3中使用了下面的算法，它第一次在公众场合出现的时候，几乎震住了所有的人。据说该算法其实并不是Carmack发明的，它真正的作者是Nvidia的Gary Tarolli（未经证实）。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
//
// 计算参数x的平方根的倒数
//
float InvSqrt (float x)
{
float xhalf = 0.5f*x;
int i = *(int*)&x;
i = 0x5f3759df - (i >> 1); // 计算第一个近似根
x = *(float*)&i;
x = x*(1.5f - xhalf*x*x); // 牛顿迭代法
return x;
}
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
该算法的本质其实就是牛顿迭代法（Newton-Raphson Method，简称NR），而NR的基础则是泰勒级数（Taylor Series）。NR是一种求方程的近似根的方法。首先要估计一个与方程的根比较靠近的数值，然后根据公式推算下一个更加近似的数值，不断重复直到可以获得满意的精度。其公式如下：
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
函数：y=f(x)
其一阶导数为：y'=f'(x)
则方程：f(x)=0 的第n+1个近似根为
x[n+1] = x[n] - f(x[n]) / f'(x[n])
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
NR最关键的地方在于估计第一个近似根。如果该近似根与真根足够靠近的话，那么只需要少数几次迭代，就可以得到满意的解。

现在回过头来看看如何利用牛顿法来解决我们的问题。求平方根的倒数，实际就是求方程1/(x^2)-a=0的解。将该方程按牛顿迭代法的公式展开为：
x[n+1]=1/2*x[n]*(3-a*x[n]*x[n])
将1/2放到括号里面，就得到了上面那个函数的倒数第二行。

接着，我们要设法估计第一个近似根。这也是上面的函数最神奇的地方。它通过某种方法算出了一个与真根非常接近的近似根，因此它只需要使用一次迭代过程就获得了较满意的解。它是怎样做到的呢？所有的奥妙就在于这一行：
i = 0x5f3759df - (i >> 1); // 计算第一个近似根

超级莫名其妙的语句，不是吗？但仔细想一下的话，还是可以理解的。我们知道，IEEE标准下，float类型的数据在32位系统上是这样表示的（大体来说就是这样，但省略了很多细节，有兴趣可以GOOGLE）：
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
bits：31 30 ... 0
31：符号位
30-23：共8位，保存指数（E）
22-0：共23位，保存尾数（M）
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
所以，32位的浮点数用十进制实数表示就是：M*2^E。开根然后倒数就是：M^(-1/2)*2^(-E/2)。现在就十分清晰了。语句i> >1其工作就是将指数除以2，实现2^(E/2)的部分。而前面用一个常数减去它，目的就是得到M^(1/2)同时反转所有指数的符号。

至于那个0x5f3759df，呃，我只能说，的确是一个超级的Magic Number。

那个Magic Number是可以推导出来的，但我并不打算在这里讨论，因为实在太繁琐了。简单来说，其原理如下：因为IEEE的浮点数中，尾数M省略了最前面的1，所以实际的尾数是1+M。如果你在大学上数学课没有打瞌睡的话，那么当你看到(1+M)^(-1/2)这样的形式时，应该会马上联想的到它的泰勒级数展开，而该展开式的第一项就是常数。下面给出简单的推导过程：
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
对于实数R>0，假设其在IEEE的浮点表示中，
指数为E，尾数为M，则：

R^(-1/2)
= (1+M)^(-1/2) * 2^(-E/2)

将(1+M)^(-1/2)按泰勒级数展开，取第一项，得：

原式
= (1-M/2) * 2^(-E/2)
= 2^(-E/2) - (M/2) * 2^(-E/2)

如果不考虑指数的符号的话，
(M/2)*2^(E/2)正是(R>>1)，
而在IEEE表示中，指数的符号只需简单地加上一个偏移即可，
而式子的前半部分刚好是个常数，所以原式可以转化为：

原式 = C - (M/2)*2^(E/2) = C - (R>>1)，其中C为常数

所以只需要解方程：
R^(-1/2)
= (1+M)^(-1/2) * 2^(-E/2)
= C - (R>>1)
求出令到相对误差最小的C值就可以了
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
上面的推导过程只是我个人的理解，并未得到证实。而Chris Lomont则在他的论文中详细讨论了最后那个方程的解法，并尝试在实际的机器上寻找最佳的常数C。有兴趣的朋友可以在文末找到他的论文的链接。

所以，所谓的Magic Number，并不是从N元宇宙的某个星系由于时空扭曲而掉到地球上的，而是几百年前就有的数学理论。只要熟悉NR和泰勒级数，你我同样有能力作出类似的优化。

在GameDev.net上有人做过测试，该函数的相对误差约为0.177585%，速度比C标准库的sqrt提高超过20%。如果增加一次迭代过程，相对误差可以降低到e-004 的级数，但速度也会降到和sqrt差不多。据说在DOOM3中，Carmack通过查找表进一步优化了该算法，精度近乎完美，而且速度也比原版提高了一截（正在努力弄源码，谁有发我一份）。

值得注意的是，在Chris Lomont的演算中，理论上最优秀的常数（精度最高）是0x5f37642f，并且在实际测试中，如果只使用一次迭代的话，其效果也是最好的。但奇怪的是，经过两次NR后，在该常数下解的精度将降低得非常厉害（天知道是怎么回事！）。经过实际的测试，Chris Lomont认为，最优秀的常数是0x5f375a86。如果换成64位的double版本的话，算法还是一样的，而最优常数则为0x5fe6ec85e7de30da（又一个令人冒汗的Magic Number - -b）。

这个算法依赖于浮点数的内部表示和字节顺序，所以是不具移植性的。如果放到Mac上跑就会挂掉。如果想具备可移植性，还是乖乖用sqrt好了。但算法思想是通用的。大家可以尝试推算一下相应的平方根算法。

下面给出Carmack在QUAKE3中使用的平方根算法。Carmack已经将QUAKE3的所有源代码捐给开源了，所以大家可以放心使用，不用担心会受到律师信。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
//
// Carmack在QUAKE3中使用的计算平方根的函数
//
float CarmSqrt(float x){
union{
int intPart;
float floatPart;
} convertor;
union{
int intPart;
float floatPart;
} convertor2;
convertor.floatPart = x;
convertor2.floatPart = x;
convertor.intPart = 0x1FBCF800 + (convertor.intPart >> 1);
convertor2.intPart = 0x5f3759df - (convertor2.intPart >> 1);
return 0.5f*(convertor.floatPart + (x * convertor2.floatPart));
}

1万 · 2017-6-1 18:17

Wh654321 发表于 2017-6-1 17:12
2009-06-10
John Carmack密码：0x5f3759df--Quake III的源代码分析 - [Code4Fun]
版权声明：转载时请以超链 ...

你转的这个贴里有好几处明显的错误，比起原贴那个分析来差远了。
例如他说“(M/2)*2^(E/2)正是(R>>1)，”，显然这不对，原来E的最低位移到M的最高位去了，但他只做除2处理。
同时E是真正的指数加127的结果，这样直接除以2，明显不再是真正的指数除以2加127的结果。
另外他还说“2^(-E/2) - (M/2) * 2^(-E/2)”这个式子“的前半部分刚好是个常数”，2^(-E/2)它怎么可能
会是一个常数？
所以你转的这个贴，他的分析是错误的，并不能得到我们想要的结果。

只看该作者 · 2017-6-2 11:20

computer00 发表于 2017-6-1 18:17
你转的这个贴里有好几处明显的错误，比起原贴那个分析来差远了。
例如他说“(M/2)*2^(E/2)正是(R>>1)，” ...

我转那个贴，只是想说：普渡大学的数学家Chris Lomont，早在2003年就将这个“魔数”写成论文了，至于你帖子那篇**有没有抄袭Chris Lomont，我就不得而知了。
我曾经下载过Chris Lomont的这篇论文，但我不搞计算机数论，也不太看得懂....
不过我转的那个帖，是人家2009年的博客，作者好像是计算机算法方面的博士，想来也不至于写出明显错误的推导公式....

1万 · 2017-6-2 16:45

Wh654321 发表于 2017-6-2 11:20
我转那个贴，只是想说：普渡大学的数学家Chris Lomont，早在2003年就将这个“魔数”写成论文了，至于你帖 ...

是不是有错，你对照我的分析看看就不就知道了？

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