这个点儿在哪？

只看该作者 · 2010-6-9 19:36

假设为A点，直接从A点拉条垂线到X轴，容易证明夹角都是小于90度的。然后，夹角大小=“经过（0，0）点的直线与垂线的夹角”加上或者减去“经过（1，0）点的直线与垂线的夹角”，根据正切特性（夹角越大正切值越大），分别用tg（A+B）与tg（A-B）分解求解，最后会转换成求一个算式的最大值问题。

只看该作者 · 2010-6-9 19:42

至于(1,1)点，根本不可能，那点不在那条直线上，帅哥。（0,4）点也不在那条线上……。30度对应的线是斜线的1/2，斜线是4，Y轴上的值应该是2倍根号3

只看该作者 · 2010-6-9 21:51

这个东西不难，只是有一点繁复。楼上的各位用x, y 平面来解, 没有问题，只是让问题更繁复。这种问题最好的方式应是复平面，极坐标。我给出大致思路，搂主自己完善吧。

1) 平移坐标系至(2, 0)。注意：坐标系的移动，旋转不会改变夹角的特性。这样三个点（矢量）为：P0[0,0](原[2，0]), P1[0, -2](原[0,0]), P2[1, -2](原[1, 0]).

2) "这个点" P 的极坐标为 r*E^(-2PI/3 i), r 为长度, i为复数符号， 2PI/3为120度， E是自然常数。这样可以算出两个新矢量：
PP1 = P - P1 = r*E^(-2PI/3 i) - (-2i)
PP2 = P - P2 = r*E^(-2PI/3 i) - (1 - 2i)

所求夹角就是 PP1 与 PP2 的夹角。

3）旋转坐标系 E^(2PI/3 i) = cos(120) + i sin(120) = 0.5 + 0.866i :
pp1 = PP1 * E^(2PI/3 i) = r + 2i * E^(2PI/3 i)  = (r – 1.732) + i
pp2 = PP2 * E^(2PI/3 i) = r + (1 - 2i) *(0.5 + 0.866i) =  ….  (搂主自己算)
这时可以看得出旋转的目的了吧

4) 求夹角A的方程。很简单, pp2 乘以pp1 的轭(r – 1.732) – i, 也就是说把pp2 旋转 pp1的角度。
A = pp2 * pp1’ = pp2 * ((r – 1.732) – i) = r^2 + ….

5）对 A 求导，求极值. (这个楼主应该会吧)

复平面，极坐标的方法可以完全避免 cos, sin 等等变换，而且可以很容易的利用旋转操作求得夹角方程。当然, 得有基本的复平面极坐标知识
只要有基本的复平面

只看该作者 · 2010-6-9 22:13

17# aresc

哈，确实是我错了，再弄一个。

(1) A = 2√3
(2) cos30°=(4^2+(A-x)^2-b^2)/2*4*(A-x)
(3) cos60°=(x^2+1^2-a^2)/2*1*x
(4) cosθ =(a^2+b^2-1^2)/2*a*b
(5) 化简的结果，能得到一个x和θ 的 ...
一棵小草发表于 2010-6-9 13:39

你这个图中的(0,4)应该是（0，2√3），A应该等于4.sin（PI/6)=0.5是对边比斜边。

只看该作者 · 2010-6-9 22:38

补充:
只需求4)矢量 A 的 *****实部***** 的最小值. 设所求夹角为a,
A = pp2 * pp1’ = pp2 * ((r – 1.732) – i) = (r^2 + ...) + i (...) = M * (cos(a) + i sin(a))
如要 a 最大， cos(a) 必须最小。(a 不会在第2, 3象限）. 求 realA = (r^2 + ...) 的极值可以得到 r. "这个点" 为 r*E^(-2PI/3 i) = r*(0.5 - 0.866i)

只看该作者 · 2010-6-10 13:21

你这个图中的(0,4)应该是（0，2√3），A应该等于4.sin（PI/6)=0.5是对边比斜边。
aresc 发表于 2010-6-9 22:13

:L 我又错了

只看该作者 · 2010-6-11 20:20

这个有更简单的方法：

已知点O(0,0), P(1,0) 以及点C，点C位于直线y=2√3 - √3x上，则求直线OC与PC的夹角A有如下简单公式：
tanA = ABS[(k2-k1)/(1+k1k2)], 其中k2、k1分别为直线OC,PC的斜率，ABS是取绝对值。最后可以得出一个关于x的因式。但tanA是一个超越方程，用初等方法是解不出的。