《电路原理》知识点注解——三角形/星形变换

2万 · 2017-7-23 21:51

三角形/星形（可逆）变换在任何一本电路原理书中都有论及，具体这里就不详细说了。在此仅给出一些相关问题的简单注解。

2万 · 2017-7-23 21:57

三角形和星形是两个截然不同的拓扑结构，一个有单一的回路，而另一个则有单一的一个节点。虽然拓扑结构如此不同，但其却可以相互等效。

2万 · 2017-7-23 22:05

关于此，涉及到电阻网络的“自由度”（具体看电路网络理论）。n端电阻网络的自由度是n(n-1)/2，而三角形（星形）网络的自由度恰是端点数3，这样就保证了其双向变换的存在且唯一性。

2万 · 2017-7-23 22:15

那么，如果n>3时，情形将是如何的呢？

显然，n>3时，n端星形拓扑结构仅有n个电阻，相应电路的自由度小于n(n-1)/2。而若仅考虑n边形的话，其也仅有n个电阻，同样自由度小于n(n-1)/2。由于这两种拓扑结构的空间截然不同，所以根本不可能相互变换。

2万 · 2017-7-23 22:24

那么，n（n>3）端星形拓扑结构是否可以等效成n端全网络呢？当然可以！

n端全网络具备n(n-1)/2个电阻，其自由度就是n(n-1)/2。

但是，n（n>3）端全网络却不可以等效成n端星形拓扑结构！

2万 · 2017-7-23 22:30

关于n端全网络：

n=3时，是个平面三角形。

n=4时，是个立体四面体（还是个平面图）。

n=5时，

....

你会发现，再下去基本都不可能是个平面图了。

2万 · 2017-7-23 22:37

n（n>3）端星形拓扑结构变换成n端全网络，其好处是去掉了一个节点，但也以增加边数（电阻）作为代价。当然，随着节点数的减少，最终电路将会被简化。

2万 · 2017-7-23 22:47

现在看看具体如何确定n端全网络中的n(n-1)/2个电阻值的。

如果将n端全网络中的n-1个端点接地，而对那个未接地的端点加一个电压U。那么，可以得到n-1个接地端点上的电流。电压U除以相应的电流就是相应的电阻值。等效到n端星形拓扑结构，其就是分压分流。由此，就可以很容易求得等效的n端全网络中的n(n-1)/2个电阻值。

2万 · 2017-7-23 22:56

最后总结几句：

1）唯一等效（双向）变换只存在于n=3的情况下，及三角形/（三端）星形。

2）n>3时，只能将n端星形拓扑结构等效成n端全网路，反之不然。

3）n=2时，其实就是串并联结构，且不唯一。本质上就是自由度冗余。

《电路原理》知识点注解——三角形/星形变换

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