任何标量场的梯度的旋度为0

只看该作者 · 2011-3-29 10:56

本帖最后由 haibushuo 于 2011-3-29 10:58 编辑

以下为我的个人理解，希望大侠能指点一下，谢谢了
首先看几个定义
方向导数，函数在某个方向上的变化率
梯度，就是在这个点上，函数变化率的最大值，方向为这个最大值的指向
再，主要是环量
按照定义，在流场中任取一条封闭曲线，速度沿该封闭曲线的线积分称为该封闭曲线的速度环量。像力做功的计算方法一样，也形象地称速度环量为速度绕封闭曲线的速度功。
就像我们抽烟时吐的烟圈一样：
如图，

接着我来说我的理解吧
看两张图片先，网上找的

我的理解是，之所以会“旋转”，是因为受力不均匀所导致
如上面图中水流的例子，水流在垂直的上下平面上，大小是一样的
所以，水流那个例子中，左边不产生涡旋

而右边那张图里面会产生涡旋，是因为力的不均匀，在垂直的上下这个平面上，越往下，力越小，所以产生了涡旋
这就是我理解的环量
接着，来说这个恒等式：任何标量场的梯度的旋度为0
我画了一张图片，电容器

电容器内部的电场，其实就是梯度呗？
对每个垂直方向的平面来说，电势位相等
所以，这就好比刚才水流的那个例子一样，上下来说受力相等了
所以，旋度为0

以上是我对梯度和旋度的理解
给大侠看看，希望能指点一下，有错误之处还望指出

只看该作者 · 2011-3-29 15:21

本帖最后由 sxdxy 于 2011-3-29 15:23 编辑

一个标量场中，每个点处的势都是固定的，也就是说可以用函数f=f(x,y,z,t)来表示，有t表示是一个时变场，如果有一个公共参考点，那么其它点关于它的势的大小都是一个定值。这样的标量场对应的矢量场称为保守场。举个例子，地球的重力场就是一个保守场，如一个质量为m的人，从海拔为0处攀登到海拔为h处的高山顶，那么无论这个人是从山坡上按怎样的路径爬上去，抑或坐直升机上去，重力对他做的功都是相等的，既-mgh，也就是说势能与路径无关。重力场是矢量场，重力势就是标量场，重力势的梯度的旋度为0。
而在另一种情况下：如磁场线穿过一个闭合的线圈，线圈上就有感生电动势，感生电动势就不是一个标量场。因为电流是从电势高的地方流向电势低的地方，但现在电流是循环的，没有哪个点电势是最低的，也没有哪个点电势是最高的，因此线圈中的感应电动势也就无法用函数f=f(x,y,z,t)来表示，但是线圈上某点处的电场可以用函数来表示F=F(x,y,z,t)是一个有旋场，但它不是感应电动势的梯度场

只看该作者 · 2011-3-29 16:31

重力场是矢量场，重力势就是标量场，重力势的梯度的旋度为0
sxdxy 发表于 2011-3-29 15:21

这个例子好，说下我的理解
重力势的梯度的旋度为0，
是由于我们是处在一个重力势的等势面上，
当我们爬上高空时，我们的重量就变轻了的。这也说明了等势面的存在
而楞次定律里面的感应电动势，假如，一个闭合的线圈，忽略内阻的话，感应电动势应该是为0
想象电感的阶跃响应，电感原先的电流为I1，然后瞬间切换到一个负载
上面我画张图片：

当瞬间开关切换到2处时，0+时刻产生的感应电动势为I1*R
假如R=0时，电感上产生的感应电动势就应该为0
所以，您上面的哪个例子里面，如果有内阻的话，就相当于R不为0，此时就存在着电势的高低了

只看该作者 · 2011-3-29 17:45

人登上高处怎么会重量变轻呢？I服了U:funk::L
离地心越远当然重力会有所减小，但这个减小量微乎其微。这里说重力做负功是因为人的势能增加了。
后面的例子跟电阻是不是零有什么关系？又不是探讨超导体。
你刚才说到等高线，那么可以理解一条等高线，它只能表示一个高度，不能表示两个高度。比如说你站在一座大厦顶上，你距地面高度为100米，这是可以的。但不可能出现你距地面既高100米，又高200米。如果等高线有两条重合在一起，那么重合处梯度就不存在，因为不可导。表现在实际情况中那个点就处于90°的悬崖峭壁的边缘。
后面的例子是说闭合线圈中，你设法用笔在上面表一个红点和一个蓝点，前半圈电流从红点流向蓝点，如果我们认为红点电势比蓝点高。那么好，后半圈电流是从蓝点流向红点的，这么说来还是蓝点电势高了，那究竟谁高呢？
所以这个感应电场不是感应电动势的梯度，它不能表示为一个标量场的梯度，所以这个电场的旋度不为0，否则为0。
那感应电场既然都不能表示为某一标量场的梯度，那跟线圈有没有内阻有什么关系？线圈没内阻只不过感应电动势不存在而已。如果是超导，只能说明感应电动势会一直存在而已

只看该作者 · 2011-3-29 17:53

还有上面电感这个图完全是大错特错，既然电感电流不能突变，你怎么还能用开关这样拨过来？明白为什么继电器都要并联一个续流二极管么？

只看该作者 · 2011-3-29 18:27

还有上面电感这个图完全是大错特错，既然电感电流不能突变，你怎么还能用开关这样拨过来？明白为什么继电器都要并联一个续流二极管么？
sxdxy 发表于 2011-3-29 17:53

先贴一张图片吧，这个是《电路》尼尔森的那本书里面的一个例题
我所说的切换就是这个意思

只看该作者 · 2011-3-29 18:38

本帖最后由 haibushuo 于 2011-3-29 18:40 编辑

人登上高处怎么会重量变轻呢？I服了U:funk::L
离地心越远当然重力会有所减小，但这个减小量微乎其微。
sxdxy 发表于 2011-3-29 17:45

如果我没记错的话，是这样说的，人登上高处，质量（m）不变，但是重量(mg)变轻

再有就是，并不是有电流存在，就一定有电势差
比如下图，在AB段，肯定有电流的存在，但是没有电势差，因为AB段的电阻为0
同样的，如果闭合线圈的内阻忽略的话，也就没有电势差了
也就是说，此处不应该来说明 所以这个感应电场不是感应电动势的梯度，它不能表示为一个标量场的梯度，所以这个电场的旋度不为0，否则为0。

只看该作者 · 2011-3-29 19:03

本帖最后由 sxdxy 于 2011-3-29 19:19 编辑

1，注意那个开关的形状，跟你3楼给出的开关是不一样的，那个开关在拨动的过程中有一段路径是开关和a、b都导通的，也就是你红线画出来的那句话，这就是和3楼的图的区别，3楼的图是先断开1，再接上2的。
2，人登到高处mg会减小，因为g会减小，这点我没有否定。但是这个减小的量不是我要说明的问题关键，既然是理想实验，这个问题就不去考虑。你把重力场当做一个匀强场好了，因为山的高度相对于地球的直径来说是非常小的，可以认为山顶和地面的重力场大小完全相同，也就是g不变，那么不影响问题的讨论。四楼我开始就这么说的，说“I服了U”是因为你不去抓问题的主干，而偏偏抓住了非常不重要的部分
3，电流存在，电动势不存在的情况我也没否定，但是是超导体的情况。实际的导线是有电阻的。我也在我4楼的话里面说电动势存不存在没关系。就算电动势存在，感应电场也不能表示为感应电动势的梯度，如果电动势不存在，不就更不用说了？通俗点说，不就更不能表示了么？

只看该作者 · 2011-3-29 19:09

本帖最后由 sxdxy 于 2011-3-29 19:28 编辑

四楼最后那句话打错了，应该是“如果是超导，只能说明感应电场会一直存在而已”，当然前提是出现外加磁场从别的地方移动到超导体附近，然后维持磁场不变。
看过这样的图片么？桌上的低温容器里有一块超导体，容器上方放一块磁铁上去，到后来磁铁就会悬浮在超导体上方

只看该作者 · 2011-3-29 21:12

感谢
一个问题之所以不能很快的明白，其实很大程度上是因为思维抓不住问题的重点的
刚刚仔细看了一下，其实是我没明白“感应电场”和“感生电动势”的概念引起的，
在我最初的理解里，电场是由电势差引起的，由高指向低，这就是电场的场力线
就好比两个我最初说的那个电容器一样，电容的两边存在电位差，电容中间才会有电场
其实是我搞混了感应电场和静电场了
刚刚想了半天，到现在，还是没能明白感应电场和感应电动势的关系
惭愧

桌上的低温容器里有一块超导体，容器上方放一块磁铁上去，到后来磁铁就会悬浮在超导体上方
这个图片确实没看过的