正本清源——薛定谔方程

2万 · 2018-1-3 12:02

由于薛定谔方程是《量子力学》的基础（也是一个基本的物理公设），而近代物理（包括相关技术）的根基之一就是《量子力学》。当前，几乎任何一本《普通物理》教程都会涉及到量子物理基础，所以作为一个本科以上的学生，有必要了解一点相关的知识。

2万 · 2018-1-3 12:10

薛定谔方程的具体形式和性质以及应用这里不详细说了，这个可以翻看任何一本相关的书籍。在此，只是有针对性地说明几点。

一）薛定谔方程与牛顿经典力学不等价

这两个东西的显性差异这里就不多说了，仅说明一点，即薛定谔方程不仅是个基本的动力学方程，其还含有连续性方程（牛顿力学定律不含连续性方程）。在普朗克常数趋于零的前提下，薛定谔方程可以过渡到哈密顿-雅可比方程，而由《分析力学》可知最终可得到牛顿动力学定律。由于薛定谔方程包含了连续性方程（即粒子数守恒），那么，对于任何可产生和湮灭的粒子都不可能满足薛定谔方程，譬如光子。

二）薛定谔方程必然是个线性偏微分方程

线性保证了其叠加性，而偏微分方程则反映了其时空分布特性。

三）薛定谔方程必须满足德布罗意关系

薛定谔方程必须反映出能量与频率以及动量与波长的关系。而由自由粒子的平面波特性，可知其必然引入虚数——i。

四）如果薛定谔方程不显含时间t，那么可以时空变量分离

变量分离后的空间变量方程被称为定态薛定谔方程。需注意的是，定态方程的解只是波函数的空间因子部分，完整的波函数需乘上时间相关因子。

五）薛定谔方程中的哈密顿量

哈密顿量表达了能量，其含有动能和势能。而动能中含有动量平方，这就确定了薛定谔方程必然是含有关于空间的二阶偏微分。所以说，薛定谔方程是一个关于空间的二阶偏微分和时间一阶偏微分的偏微分方程。

六）由薛定谔方程中的哈密顿量可知，确定薛定谔方程解的主要因素是势能场

显然，如果势能场是个时间不变场（不含t），那么所得解就是个定态解。而如果是个周期性势场，那么就涉及到布洛赫波，进而引入了能级概念。这就是半导体物理的基础。

正本清源——薛定谔方程

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