复数域及其运算和复函数初步

2万 · 2018-3-29 14:40

这是个关于复数相关的初级知识梳理系列帖，并不是完整的《复变函数》梳理。但作为后续课程梳理的数学基础，已经基本够用。而在某些特殊场合下用到《复变函数》知识，则会直接给出相关理论结果。

2万 · 2018-3-29 14:46

数域的拓展

常听说的数域有实数域和复数域，其实还有个更基本的数域——有理数域。

域，涉及到加和乘这两个运算，显然加和乘对于有理数是封闭的，即有理数经有限次加乘运算还是有理数。

由于存在下面的形式：

x x = x^2

n个x相乘

x x x ... x = x^n

这就引入了满足一定运算规则的幂指数运算，即

z = x^y

这里，首先遇到的就是y是分数的情况，譬如x=2,y=1/2，即

z = 2^(1/2)

可以证明，z不可能采用有理数形式表述，意味着幂指数运算对于有理数来说不封闭。这就是最简单的一个无理数。显然，加和乘法对于有理数和无理数的合集还是封闭的，这就是实数域。

进一步看，如果x=-1，y=1/2，即

z = (-1)^(1/2)

显然，按照幂指数运算的规则，z不可能是实数域中的数。这样就必须对数域作进一步的拓展，即复数域拓展。

2万 · 2018-3-29 14:51

复数及其运算

复数是个二元组，表述如下

[x,y]

并且定义加法和乘法如下

[x1,y1] + [x2,y2] = [x1+x2,y1+y2]

[x1,y1][x2,y2] = [x1x2-y1y2,x1y2+x2y1]

注意下面的运算

[0,1][0,1] = [-1,0]

即可认为

[0,1]^2 = [-1,0]

也可写成

[-1,0]^(1/2) = [0,1]

下面对上述复数二元组形式作简化写法，即

[x,y] = x + iy

并对x和y为零时的情形进一步简化如下

[x,0] = x

[0,y] = iy

那么，上面的式子

[-1,0]^(1/2) = [0,1]

就简化成

(-1)^(1/2) = i

即-1开平方等于i。

2万 · 2018-3-29 14:59

由上可见，幂指数运算是继数域基本运算加法和乘法后的又一个基本运算，而由此运算不仅导致了数域的扩展，还直接就导致了两个函数的出现，即

1）幂函数

y = x^μ

2）指数函数

y = e^x

这是两个基本的初等函数。

2万 · 2018-3-29 18:16

复数的幂指数运算

我们知道，加法和乘法对于复数而言显然是封闭的，构成复数域。

而论及复数的幂指数运算，那就不那么简单了，必须先引入基本初等函数——正弦函数（cos()和sin()）。

下式可以认为是个定义：

e^(iy) = cos(y) + i sin(y)

其中e是自然常数（实数），而y是个实数。

这样，对于z=x+iy，就有

e^z = (e^x)(e^(iy)) = (e^x)(cos(y) + i sin(y))

其中，x和y是两个实数。

那么，就可以看下面这个幂指数运算

a^z

其中a是个大于零的实数。由a=e^ln(a)，代入得下式

a^z = e^(ln(a)z)

用上面的相关式子就知道其幂指数运算了。

由于复数w可以表述成下面的形式

w = ρ(cos(φ+2kπ) + i sin(φ+2kπ)) = ρe^(i(φ+2kπ))

其中，ρ和φ都是实数且ρ大于零，k是整数。

那么，就可以看下面这个幂指数运算

w^z = (ρe^(i(φ+2kπ)))^z = ρ^z e^(i(φ+2kπ)z)

注意，这里的z是个复数，且结果可能是多值的。

这样，我们基本论述了复数的幂指数运算。

2万 · 2018-3-29 18:22

给两个由点意思的式子：

e^(iπ) + 1 = 0

i^i = e^(-π/2+2kπ)

2万 · 2018-4-9 14:09

基本初等函数

从前面所述的幂指数运算看到，直接就引出了两个基本初等函数（幂函数和指数函数）。下面具体看一些相关的基本初等函数。

一）指数函数

对于任意复数z=x+iy，用关系式

e^z = e^(x+iy) = e^x(cos(y)+isin(y))

来规定指数函数e^z。

显然，指数函数关于自变量z的虚部y呈周期性，周期为2πi。

二）三角函数

由上面的指数函数定义可以看出有如下关系（欧拉公式）

e^(iy) = cos(y) + isin(y)

变换可得下式

sin(y) = (e^(iy)-e^(-iy))/(2i)

cos(y) = (e^(iy)+e^(-iy))/2

对于任意复数z=x+iy，用关系式

sin(z) = (e^(iz)-e^(-iz))/(2i)

cos(z) = (e^(iz)+e^(-iz))/2

来规定三角函数sin(z)和cos(z)。

显然，三角函数关于其自变量z的实部x呈现周期性，周期为2π。

利用常规定义关系，由上述三角函数进一步可以定义正切、余切、正割和余割等函数。

由上面三角函数的定义，还可以得到欧拉公式的复数域拓广

e^(iz) = cos(z) + isin(z)

其中z是复数。

三）正整数幂函数

z^n

其中n为正整数。

这就是n个同样的复数z相乘。

到此，可以说已经罗列了最基本的几个初等函数的定义。在“剖析《高等数学》”中关于映射的论述中，谈到了单射（与像所对应的原像唯一），而上述最基本的初等复变函数通常是非单射的，即有多个原像与一个像对应。下面给一个相关的单叶区的定义

设函数f(z)在区域D内有定义，且对D内任意不同的两点z1和z2，都有f(z1)不等于f(z2)，则称函数f(z)在D内是单叶的，并且称区域D为f(z)的单叶性区域。显然，区域D到区域G的单叶满射就是D到G的一一映射。

四）根式函数（幂函数的一种）

规定根式函数

z^(1/n)

为正整数幂函数z^n的反函数。

设z=|z|e^(iarg(z)+i2kπ)，则根式函数可表为

z^(1/n) = |z|^(1/n)e^(iarg(z)/n+i2kπ/n)

显然，若n>1则其为多值（k=0,1,...,n-1）。多值的原因就是正整数幂函数所呈现的非单射性。通过适当选择单叶性区域，可以在相应区域内得到一个单值的函数。

五）对数函数

类似前述的根式函数，对数函数同样是被看成是指数函数的反函数。即若

e^w = z

则复数w被称为复数z的对数，记为

w = Ln(z)

根据指数函数的关系，对数函数具体可表为

Ln(z) = ln(|z|) + i(arg(z) + 2kπ) (k=0,±1,...)

其中ln()为普通的实对数函数。

同样由于指数函数的非单射性，导致其反函数的多值性。通常选择其主值支作为其相应单值函数。此单值函数用通常的对数符号ln()表示

ln(z) = ln(|z|) + iarg(z) (-π<arg(z)≤π)

其中定义式右面的对数ln()是通常的实对数函数。

通过指数函数的单叶性区域的选择，同样可在其单叶性区域内作相应单值函数分析。

六）一般幂函数和一般指数函数

通过对数函数Ln()，可定义一般的幂函数和指数函数如下

z^μ = e^(μLn(z))

a^z = e^(zLn(a))

对比前面的幂指数运算，此定义采用了复对数使其形式更简洁。

2万 · 2018-4-11 15:12

多项式函数和有理函数及其零极点和相关波特图

多项式函数是由正整数幂函数的有限项线性组合而成的函数，分子和分母都是多项式的分式函数则是有理函数。

由代数基本定理可知，多项式可以因式分解成如下形式

(s-q1)(s-q2)...(s-qn)

为了相关应用考虑，这里用“s”替代原先的“z”来表示复变量。

先看因式

(s-q)

其中设q为实数。

用s=jω（ω为实数）代入得

(jω-q)

同样为了相关应用考虑，这里用“j”替代原先的“i”来表示虚部。

现在考虑其幅度（模）

|jω-q| = √(ω^2+q^2)

当(ω/q)^2≪1

|jω-q| ≈ |q|

当(ω/q)^2≫1

|jω-q| ≈ |ω|

下面给两幅示意图（其中之一为双对数坐标——波特图）。

2万 · 2018-4-11 15:16

示意图(其中图二为双对数坐标)：

2万 · 2018-4-11 15:20

对应(s-q)，其倒数

1/(s-q)

相关的幅度

1/|jω-q|

在波特图表示上就是取反（乘-1）。

(s-q)中的q（可以是复数）被称为零点，而其倒数1/(s-q)中的q则被称为极点。显然，有理函数分子分母分别因式分解后有如下形式

(s-z1)(s-z2)...(s-zm)/((s-p1)(s-p2)...(s-pn))

其中的z1,z2,...,zm就是零点，而p1,p2,...,pn则是极点。

有理函数相关的幅度在波特图上就是相应因子在波特图上值的累加。

2万 · 2018-4-11 15:24

从一次到高次——引入巴特沃斯多项式

从下式

|jω-q| = √(ω^2+q^2)

可知

若ω=q，则

|jω-q| = √2|q|

下面看看这个式子

√(ω^(2n)+q^(2n))

显然有

当(ω/q)^(2n)≪1

√(ω^(2n)+q^(2n)) ≈ |q|^n

当(ω/q)^(2n)≫1

√(ω^(2n)+q^(2n)) ≈ |ω|^n

且若ω=q，则

√(ω^(2n)+q^(2n)) = √2|q|^n

这个与之前的非常类似，且还是n次方。那么如何得到相关的多项式呢？看下面这个方程

s^(2n) + (-1)^nq^(2n) = 0

n为奇数

s^(2n) - q^(2n) = 0

s = |q|e^(ikπ/n) (k=0,1,...,2n-1)

n为偶数

s^(2n) + q^(2n) = 0

s = |q|e^(iπ/(2n)+ikπ/n) (k=0,1,...,2n-1)

那么

s^(2n) + (-1)^nq^(2n) = (s-sl1)(s-sl2)...(s-sln)(s-sr1)(s-sr2)...(s-srn)

取所有左半复平面内的根sl1,sl2,...,sln，即

(s-sl1)(s-sl2)...(s-sln)

这个式子的幅度（模）就满足下式

|(s-sl1)(s-sl2)...(s-sln)| = √(ω^(2n)+q^(2n))

而(s-sl1)(s-sl2)...(s-sln)就是巴特沃斯多项式。

2万 · 2018-4-17 11:00

辐角原理

《复变函数》中的辅角原理针对的是亚纯函数，由于这里并未给出《复变函数》知识的系统梳理，所以在此仅限于讨论有理式（属于亚纯函数）。

一）先看单因子(s-z)

作一条由z至s的有向线段，显然此有向线段就表征了s-z（可表成|s-z|e^(iarg(s-z))）。再作一条简单闭曲线C（z不在C上），让s在C上按逆时针方向走一圈。如果z在C内，则辐角（arg(s-z)）将变化2π，否则不变。

二）再看1/(s-p)

按上，让s在C上按逆时针方向走一圈。由

1/(s-p) = |1/(s-p)|e^(-iarg(s-p))

可知，如果p在C内，则辐角（-arg(s-p)）将变化-2π，否则不变。

三）观察有理式

(s-z1)(s-z2)...(s-zm)/((s-p1)(s-p2)...(s-pn))

同样，作一条简单闭曲线C（z和p都不在C上），让s在C上按逆时针方向走一圈。如果有M个z和N个p在C内，则整个有理式辐角变化了2π(M-N)。而若将所以的z和p都包含在C内，则有理式辐角变化了2π(m-n)。

将变化的辐角除以2π，则得变化周数——M-N或m-n。

按“辐角原理”表述为：

有理式（亚纯函数）f(s)在简单闭曲线C内部的零点个数与极点个数之差，等于当s沿C之正向（逆时针）绕行一周后arg(f(s))的改变量除以2π。

只看该作者 · 2020-2-22 19:06

z = 2^(1/2)

复数域及其运算和复函数初步

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