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你真会数数吗：1+2+3…= -1/12 ？(节选）
解析延拓是有用的，因为复函数可以看成关于变量z的无穷级数，而大多数这种无穷级数只有当z取某些值时才收敛（译者注：即该复函数仅在某些点处有定义），如果我们可以让该函数在更广的地方有定义会比较好，而一个函数的解析延拓就可以让原函数在无穷级数的非收敛点处也有定义。当我们用一个函数的解析延拓值来代替定义原函数的无穷级数时，我们就可以说1+2+3…=-1/12 了。
我要在一个函数某点的解析延拓取值与一个在其他地方定义的无穷级数之间放上一个等号。
现在需要讨论的问题是黎曼ζ函数 （the Riemann zeta function），它以与素数的分布问题有很大联系而著称。当s的实部大于1，黎曼ζ函数ζ(s) 被定义为（我们通常用字母z代表复函数中的自变量，但为了沿用黎曼对ζ函数的定义[见黎曼1859年的论文]，这里我们用s来表示自变量）。这个无穷级数在s=-1时不收敛，但是你可以看到，当我们令s=-1时，黎曼ζ函数就等于级数1+2+3…，所以黎曼ζ函数是这个函数在整个复平面（除了s=1处）上的解析延拓。当s=-1, 有ζ(s)=-1/12。通过在ζ(-1)与之前在复平面的其他地方定义函数的无穷级数之间放上等号，我们就得出了1+2+3…=-1/12的结论。
解析延拓并不是把数字-1/12和级数1+2+3…联系起来的唯一途径。要想了解其他既详尽又不涉及复分析的好方法，参见：
http://terrytao.wordpress.com/2010/04/10/the-euler-maclaurin-formula-bernoulli-numbers-the-zeta-function-and-real-variable-analytic-continuation/。
我觉得数字狂的视频并不好，因为他们本可以讲清楚一个值用无穷级数替代是什么含义，也本可以解释清如何用不同方法实现这一替代，但他们却没有。如果你有一点点背景知识，你可以观看这个视频以及一段更长的同一话题的视频，看看事实到底是怎样的。但是那视频之所以让人们“哇”出来，是效果来源于这样一个事实：一堆正整数相加的和不可能得到一个负数，如果观众们对“和”的概念的理解是他们本来的理解的话。
图片来源：quickmeme
如果数字狂可以更加清晰地解释联系数值与无穷级数的其他途径，就不会仅仅让人们觉得数学家总是在偷换概念。在那段视频的末尾，制片人布雷迪·哈伦（Brady Haran）问物理学家托尼·帕蒂利亚（Tony Padilla），如果永远不停地在计算器上累加正整数，按下“=”按钮时，会不会得到-1/12？帕蒂利亚嬉笑着说：“前提是你得不停地加，老兄！” 但是事实上答案应该是否定的。这里，我认为他们本可以向观众澄清他们用了一种不同的方法来给无穷级数计算数值，这样可以大大减少视频的误导性，但是他们错失了机会。
其他人写东西赞了这段视频里的数学。在Slateblog post的溢美之词之后，菲儿·普莱特（Phil Plait）写了一篇冷静理智得多的**来解释级数计算的各种方法。如果你想自己搞明白证明细节，约翰·贝兹（John Baez）已经做好了全部工作。布莱克·史黛丝（Blake Stacey） 和思凯斯库尔（ Skyskull） 博士的**将告诉你用-1/12 来代替全部正整数的和在物理研究中的应用价值。理查德·埃尔维斯（Richard Elwes） 写了一个无穷级数“健康和安全警告”（healthand safety warning），涉及到了我曾经最喜欢的谐波级数（harmonic series）。我认为推广关于这一无穷级数含义的探讨是极好的，尽管我觉得视频中展示的还不够充分，毕竟现在在YouTube上有百万多的观众在看啊！
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